क स आप क स म (ln x) ^ (1 / x) क x क र प म प त ह ?

उत तर:

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = 1 #

स पष ट करण:

व र एबल एक सप र टर क स थ क म करत समय हम क फ स म न य ट र क स श र करत ह । हम क स च ज क प र क त क ल ग क ल सकत ह और फ र इसक म न बढ ए ब न घ त क फ क शन क घ त क क र प म बढ सकत ह क य क य उलट ऑपर शन ह - ल क न यह हम ल ग क न यम क उपय ग ल भक र तर क स करन क अन मत द त ह ।

#lim_ (xrarroo) (ln (x)) ^ (1 / x) = lim_ (xrarroo) exp (ln ((ln (x))) ^ (1 / x)) #

ल ग क एक सप न ट न यम क उपय ग करन:

# = lim_ (xrarroo) exp (1 / xln (ln (x))) #

ध य न द क यह वह घ त क ह ज भ न न ह त ह # Xrarroo # इसल ए हम उस पर ध य न क द र त कर सकत ह और घ त य फ क शन क ब हर स थ न तर त कर सकत ह:

# = Exp (lim_ (xrarroo) (ln (ln (x)) / x)) #

यद आप प र क त क ल ग फ क शन क व यवह र क द खत ह त आप द ख ग क ज स x अन त तक ज त ह, फ क शन क म ल य भ अन तत क दर श त ह, यद यप बह त ध र -ध र । जब हम ल त ह #ln (ln (x)) # हम र प स ल ग फ क शन क अ दर एक चर ह ज अन तत स बह त ध र -ध र चलत ह, ज सक अर थ ह क हम र प स एक समग र फ क शन ह ज अन तत क ध र -ध र प रभ व त करत ह । न च द य गय ग र फ क वल स म तक ह # X = 1000 # ल क न यह अत य त ध म व द ध दर श त ह #ln (ln (x)) # क ध म व द ध क त लन म भ #ln (एक स) #.

इस व यवह र स, हम यह अन म न लग सकत ह #एक स# बह त त ज स स पर श न म ख व क स प रदर श त कर ग और इसल ए क घ त क क स म श न य ह ग । # र ग (न ल) ("इसक अर थ ह क समग र स म = 1।") #

हम इस ब द क L'hopital क श सन स भ न पट सकत ह । हम अन श च त र प म, य न क स म क आवश यकत ह # 0/0 य oo / oo # इसल ए हम ज चत ह क यह म मल ह:

#lim_ (xrarroo) ln (ln (x)) = ln (ln (oo)) = ln (oo) = oo #

#lim_ (xrarroo) x = oo #

यह व स तव म म मल ह इसल ए स म बन ज त ह:

# = Exp (lim_ (xrarroo) ((घ / (DX) (ln (ln (x)))) / (घ / (DX) x))) #

अ तर करन # आपक = ln (ln (x)) # हम र प स पहच न ह #Y (य (x)) # और श र खल न यम क उपय ग कर

# (ड ई) / (ड एक स) = (ड ई) / (ड) (ड) / (ड एक स) #

#u = ln (x) क अर थ ह (du) / (dx) = 1 / x #

#y = ln (u) क अर थ ह (ड ई) / (du) = 1 / u = 1 / (ln (x)) #

#therefore (ड ई) / (dx) = 1 / (ln (x)) * 1 / x = 1 / (xln (x)) #

क व य त पत त #एक स# ह #1#। स म बन ज त ह:

# = exp (lim_ (xrarroo) (((1 / (xln (x))) / 1)) = exp (lim_ (xrarroo) (1 / (xln (x))) #)

हमन इस ब त पर ध य न द य ह क द न प रक र क क र य अन त क ओर ह, इसल ए हम र प स ह

# एक सप (1 / oo) = एक सप (0) = 1 #