म न ल क x, y, z त न व स तव क और व श ष ट स ख य ए ह ज सम करण 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + yz + 2xz) = 0 क स त ष ट करत ह , त न म नल ख त म स क न स व कल प सह ह ? (a) x / y = 1/2 (b) y / z = 1/4 (c) x / y = 1/3 (d) x, y, z A.P म ह

उत तर:

उत तर ह (ए)।

स पष ट करण:

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + YZ + 2xz) = 0 # क र प म ल ख ज सकत ह

# 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

य # 16x ^ 2 + 4y ^ 2 + z ^ 2-8xy-2yz-4xz = 0 #

अर थ त। # (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2 + z ^ 2-4x * 2y-2y * z-4x * z = 0 #

अगर # एक = 4x #, # B = 2y # तथ # C = z #, त यह ह

# एक ^ 2 + b ^ 2 + स ^ 2-ab-BC-स ए = 0 #

य # 2 ए ^ 2 + 2 ब ^ 2 + 2 स ^ 2-2ab-2bc-2ca = 0 #

य # (एक ^ 2 + b ^ 2-2ab) + (ख ^ 2 + ग ^ 2-2bc) + (ग ^ 2 + एक ^ 2-2ac) = 0 #

य # (एक-ख) ^ 2 + (ख-ग) ^ 2 + (ग-एक) ^ 2 = 0 #

अब यद त न वर ग क य ग ह #0#, व प रत य क श न य ह न च ह ए।

इसल य # एक-ख = 0 #, # ब c = 0 # तथ # स एक = 0 #

अर थ त। # A = b = c # और हम र म मल म # 4x = 2y = z = कश म र # कहन

फ र # एक स = k / 4 #, # Y = k / 2 # तथ # Z = कश म र #

अर थ त। # एक स, व ई # तथ # Z # ज प म ह, और # X / y = 2/4 = 1/2 #

# Y / z = 1/2 # और इसल ए उत तर (ए) ह ।

# एक स, व ई, ज ड # त न व स तव क और व श ष ट स ख य ए ह ज सम करण क स त ष ट करत ह

द य ह आ

# 8 (4x ^ 2 + y ^ 2) + 2z ^ 2-4 (4xy + YZ + 2xz) = 0 #

# => 32x ^ 2 + 8y ^ 2 + 2z ^ 2-16xy-4yz-8xz = 0 #

# => 16x ^ 2 + 4y ^ 2-16xy + 16x ^ 2 + z ^ 2-8xz + 4y ^ 2 + z ^ 2-4yz = 0 #

# => (4x) ^ 2 + (2y) ^ 2-2 * 4x * 2y (4x) ^ 2 + z ^ 2-2 * 4x * z (2y) ^ 2 + z ^ 2-2 * 2y * z = 0 #

# => (4x-2y) ^ 2 + (4x-ज ड) ^ 2 + (2y-ज ड) ^ 2 = 0 #

प रत य क त न श न य व स तव क म त र श न य ह न पर उनम स प रत य क श न य ह न च ह ए।

इसल य # 4x-2y = 0-> x / y = 2/4 = 1 / 2to #व कल प (ए)

# 4x-z = 0 => 4x = z #

तथ

# 2y-z = 0 => 2y = z #