उत तर:
ड म न: स प र ण व स तव क र ख
र ज: #-0.0757,0.826#
स पष ट करण:
इस प रश न क व य ख य द तर क स क ज सकत ह । य त हम क वल व स तव क र ख स न पटन क अप क ष करत ह # आरआर #, य ब क जट ल व म न क स थ भ # स स #। क उपय ग #एक स# ज स क एक चर क त त पर य ह क हम क वल व स तव क र ख क स थ क म कर रह ह, ल क न द म मल क ब च एक द लचस प अ तर ह ज म न ट कर ग ।
क ड म न # च # प र स ख य त मक स ट क म इनस म न ज त ह ज क स भ ब द क प रभ व त करत ह ज फ क शन क अन त तक उड द त ह । यह तब ह त ह जब हर # X ^ 2 + 4 = 0 #, अर थ त जब # X ^ 2 = -4 #। इस सम करण क क ई व स तव क सम ध न नह ह, इसल ए यद हम व स तव क र ख पर क म कर रह ह, त ड म न प र अ तर ल ह # (- ऊ, + ऊ) #। यद हम अ श और हर म अग रण शब द क त लन करक फ क शन क अन त स म ओ पर व च र करत ह, त हम द खत ह क द न श श ओ म यह श न य ह ज त ह, और इसल ए यद हम च ह त इस ब द करन क ल ए उन ह उस अ तर ल म ज ड सकत ह: # - ऊ, + ऊ #.
सम करण # X ^ 2 = -4 # ह ल क द जट ल सम ध न ह, #x = + - 2i #। यद हम प र जट ल व म न पर व च र करत ह, त ड म न प र व म न क इन द ब द ओ स घट द त ह: # स स # # {+ - 2i} #। ज स हम च हत ह, व स ह हम अन त क स थ भ ज ड सकत ह ।
क स म न र ध र त करन क ल ए # च # हम इसक ड म न पर इसक अध कतम और न य नतम म ल य क ख ज करन क आवश यकत ह । हम क वल अब व स तव क क स दर भ म ब त कर ग, क य क जट ल व म न पर इनक एक एन ल ग न र ध र त करन स म न य र प स व भ न न गण त य उपकरण क आवश यकत व ल एक अलग तरह क समस य ह ।
भ गफल न यम क म ध यम स पहल व य त पन न ल:
#F '(x) = ((एक स ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (एक स ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x 4) / (एक स ^ 2 + 4) ^ 2 #
क र यक रम # च # य त एक चरम स म य एक ब द पर पह चत ह जब #F '(x) = 0 #, अर थ त जब # -X ^ 2-6x + 4 = 0 #.
हम इस द व घ त स त र द व र हल करत ह:
# X = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #। त फ क शन म द ऐस ब द ह ।
हम द सर ब द ओ पर उनक म ल य क ज च करक इन ब द ओ क च ह न त करत ह # च #, ज हम फ र स, भ गफल न यम स ल त ह:
#F '' (x) = ((- 2x-6) (x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x 4) * 4x (एक स ^ 2 + 4)) / (एक स ^ 2 4) ^ 4 #
# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (एक स ^ 2 + 6x -4)) / (एक स ^ 2 + 4) ^ 3 #
हम अपन पहल व य त पन न जड गणन स ज नत ह क अ श म द सर शब द इन द ब द ओ क ल ए श न य ह, क य क यह न र ध र त करन क श न य वह सम करण ह ज स हमन इनप ट स ख य ओ क ख जन क ल ए हल क य ह ।
त, यह द खत ह ए # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:
#F '' (- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) 4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) ^ 3 #
# = (ब र (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)) ^ 3 #
इस अभ व यक त क स क त क न र ध र त करन म, हम प छत ह क क य # 26> 6sqrt (13) #। द न पक ष क त लन करन क ल ए वर ग: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #। इसल ए # 26-6sqrt (13) # सक र त मक ह (और # 26 + 6sqrt (13) # और भ ज य द)।
त प र अभ व यक त क स क त न च आत ह #bar (+) # इसक स मन, ज सक मतलब ह क # एक स = -3-sqrt (13) # ह #F '' (x)> 0 # (और इसल ए एक फ क शन न य नतम ह) और # एक स = -3 + sqrt (13) # ह #F '' (x) <0 # (और इसल ए एक फ क शन अध कतम ह)। यह ध य न म रखत ह ए क यह फ क शन श श ओ म श न य ह ज त ह, अब हम फ क शन क आक र क प र तरह स समझत ह ।
त अब स म प र प त करन क ल ए, हम न य नतम और अध कतम ब द ओ पर फ क शन क म ल य क गणन करन च ह ए # एक स = -3 + -sqrt (13) #
य द कर क #F (x) = (x + 3) / (एक स ^ 2 + 4) #, इसल ए
#F (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) 4) = (+ - sqrt (13)) / (26bar (+) 6sqrt (13)) #.
त, असल ल इन पर # आरआर # क र यक रम #F (एक स) # र ज म म न ल त ह # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13)) #, ज अगर हम स ख य त मक र प स म ल य कन करत ह, त आत ह #-0.0757,0.826#, त न महत वप र ण आ कड क ल ए, पर प र प त क य #एक स# म न #-6.61# तथ #0.606# (3 एस.एफ.)
सम र ह क ग र फ क एक पव त र ज च क र प म प ल ट कर:
ग र फ {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}
उत तर:
ड म न: # आरआर म #x
र ज: -0.075693909, + 0.825693909 र ग (सफ द) ("xxx" #) म #f (x) (लगभग)
स पष ट करण:
द य ह आ
#color (सफ द) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (एक स ^ 2 + 4) #
ड म न
ड म न क सभ म ल य ह #एक स# ज सक ल ए #F (एक स) # पर भष त क य ।
बह पद द व र व भ ज त बह पद क र प म व यक त क स भ फ क शन क ल ए, फ क शन क सभ म ल य क ल ए पर भ ष त क य गय ह #एक स# जह भ जक बह पद श न य क बर बर नह ह । जबस # X ^ 2> = 0 # क सभ म ल य क ल ए #एक स#, # X ^ 2 + 4> 0 # क सभ म ल य क ल ए #एक स#; अर थ त #x! = 0 # क सभ म ल य क ल ए #एक स#; फ क शन सभ र यल क ल ए पर भ ष त क य गय ह (# आरआर #) क म न #एक स#.
र ज
र ज व कस त करन क ल ए थ ड और द लचस प ह ।
हम ध य न द क यद एक न र तर फ क शन क स म ए ह, त उन स म ओ पर ह न व ल ब द ओ पर फ क शन क व य त पन न श न य क बर बर ह ।
ह ल क इनम स क छ चरण त च छ ह सकत ह, हम इस प रक र य क म ध यम स ड र व ट व क ल ए क फ ब न य द स द ध त स क म कर ग ।
1 घ त क क ल ए प रत प दक न यम
अगर #F (x) = x ^ n # फ र # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #
2 ड र व ट व क ल ए य ग न यम
अगर #F (x) = r (x) + S (एक स) # फ र # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx) #
3 उत प द न यम क ल ए न यम
अगर # एफ (एक स) = ज (एक स) * एच (एक स) # फ र # (d f (x)) / (dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)) / (dx) #
4 ज ज र क ल ए न यम
अगर #F (x) = प (क य (x)) # फ र # (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)) / (dx) #
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
द ए गए फ क शन क ल ए #F (x) = (x + 3) / (एक स ^ 2 + 4) #
हम ध य न द क यह ल ख ज सकत ह #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #
३ हम ज नत ह
# र ग (सफ द) ("XXX") र ग (ल ल) ((df (x)) / (dx)) = र ग (च न) (((x + 3)) / (dx)) * र ग (न ल) ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1) + र ग (न ल) ((x + 3)) * र ग (म ज ट) (((^ ^ 2 + 4) ^ (- 1)) / (DX)) #
१ हम र प स ह
# र ग (सफ द) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx) #
और २
#color (सफ द) ("XXX") र ग (च न) ((घ (x + 3)) / (DX)) = 1 + 0 = र ग (च न) (1) #
४ हम र प स ह
# र ग (सफ द) ("XXX") र ग (म ज ट) (((x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- 1)) / (d) (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #
और १ और २
# र ग (सफ द) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 1/2 #
य, सरल क त:
#color (सफ द) ("XXXXXXXX") = र ग (म ज ट) (- (2x) / ((एक स ^ 2 + 4) ^ 2)) #
हम द न
# र ग (सफ द) ("XXX") र ग (ल ल) ((df (x)) / (dx)) = र ग (हर) 1 * र ग (न ल) ((x + 4) ^ (- 1)) + र ग (न ल) ((x + 3)) * र ग (मज ट) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) #
ज स सरल बन य ज सकत ह
# र ग (सफ द) ("XXX") र ग (ल ल) ((ड एफ (एक स)) / (ड एक स) = (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) # #
ज स क उल ल ख क य गय ह (र स त व पस) इसक मतलब यह ह क स म म न कब ह ग
#color (सफ द) ("XXX") (- x ^ 2-6x 4) / ((एक स ^ 2 + 4) 2 ^) = 0 #
# र ग (सफ द) ("XXX") आरएआरएक स-एक स ^ 2-6x + 4 = 0 #
फ र द व घ त स त र क उपय ग करक (इस द ख, स कर ट पहल स ह इस उत तर क ल ब ई क ब र म श क यत कर रह ह)
कब
#color (सफ द) ("XXX") एक स = -3 + -sqrt (13) #
तड प क लम ब करन क बज य, हम इन म न क अपन क लक ल टर (य स प र डश ट म, ज म इस क स करत ह) क स म म ल न क ल ए प लग कर ग:
#color (सफ द) ("XXX") च (-3-sqrt (13)) ~~ -.०७,५६,९३,९०९ #
तथ
#color (सफ द) ("XXX") च (-3 + sqrt (13)) ~~.८२,५६,९३,९०९ #
उत तर:
स म ख जन क एक सरल तर क । ड म न ह # आरआर म #x। स म ह # म -0.076, 0.826 #
स पष ट करण:
ड म न ह # आरआर म #x ज स
RR म #AA x #हर # X ^ 2 + 4> 0 #
चल # Y = (x + 3) / (एक स ^ 2 + 4) #
क र स क ग ण कर
#=>#, #Y (एक स ^ 2 + 4) = x + 3 #
# YX ^ 2-x + 4y -3 = 0 #
यह एक द व घ त सम करण ह #एक स#
यद व व कश ल ह त सम ध न ह #Delta> = 0 #
#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y -3) = 1-16y ^ 2 + 12y #
इसल ए, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #
#=>#, # 16y ^ 2-12y -1 <= 0 #
इस असम नत क सम ध न ह
# y म (12-sqrt (- (12)) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32) #
# म (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #
# म -0.076, 0.826 #
ग र फ {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}
