इ ट ई ^ एक स स न ट क स क क स ड एक स क क स एक क त कर ?

उत तर:

#int e ^ xsinxcosx dx = e ^ x / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + C #

स पष ट करण:

पहल हम पहच न क उपय ग कर सकत ह:

# 2sinthetacostheta = sin2x #

ज द त ह:

#int e ^ xsinxcosx dx = 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx #

अब हम भ ग द व र एक करण क उपय ग कर सकत ह । स त र ह:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

म करन द ग #F (x) = प प (2x) # तथ #G '(x) = ई ^ एक स / 2 #। स त र क ल ग करत ह ए, हम प र प त करत ह:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-int cos (2x) e ^ x dx #

अब हम एक ब र फ र स, इस ब र क स थ एक करण ल ग कर सकत ह #F (x) = क य क (2x) # तथ #G '(x) = ई ^ x #:

#int e ^ x / 2sin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2- (cos (2x) e ^ x-int -2sin (2x) e ^ x dx) #

# 1 / 2int e ^ xin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x-2int sin (2x) e ^ x dx #

अब हम र प स सम नत क द न तरफ अभ न न ह, इसल ए हम इस एक सम करण क तरह हल कर सकत ह । सबस पहल, हम द न पक ष स 2 ग न अभ न न ज ड त ह:

# 5 / 2int e ^ xin (2x) dx = sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x + C #

च क हम म ल अभ न न पर ग ण क क र प म एक आध च हत थ, इसल ए हम द न पक ष क व भ ज त करत ह #5#:

# 1 / 2int e ^ xsin (2x) dx = 1/5 (sin (2x) e ^ x / 2-cos (2x) e ^ x) + C = #

# = ई ^ एक स / 10sin (2x) -e ^ x / 5cos (2x) + स #

उत तर:

# int e ^ x sinxcosx dx = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #

स पष ट करण:

हम र म ग ह क:

# म = int e ^ x sinxcosx dx #

ज पहच न क उपय ग कर रह ह:

# प प 2x - = 2sinxcosx #

हम इस प रक र ल ख सकत ह:

# म = 1/2 int e ^ x sin2x dx #

# म = 1/2 I_S #

स व ध क ल ए हम न र प त करत ह:

# _S = int e ^ x sin2x dx #, तथ # _C = int e ^ x cos2x dx #

अब, हम एक ब र फ र भ ग द व र एक करण करत ह ।

चल # {(u, = e ^ x, => (du) / dx, = e ^ x), (DV) / dx, = cos2x, => v, = 1/2 sin2x):} #

फ र हम प र प त ह न व ल IBP स त र म प लग ग:

# int (e ^ x) (cos2x) dx = (e ^ x) (1 / 2cos2x) - int (1 / 2sin2x) (e ^ x) dx #

#:। I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 int e ^ x sin2x dx #

#:। I_C = 1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S # ….. ब }

अब, हम र प स द अज ञ त म द समक ल क सम करण ह #ह #। तथ #I C#, इसल ए B A म प रत स थ प त करन हम र प स ह:

# I_S = -1/2 e ^ x cos2x + 1/2 {1/2 e ^ x sin2x - 1/2 I_S} #

# _ _ = -1/2 e ^ x cos2x + 1/4 e ^ x sin2x - 1/4 I_S #

#:। 5 / 4I_S = 1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x #

#:। I_S = 4/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} #

क ल ए अग रण:

# म = 1/2 I_S + C #

# _ = 2/5 {1/4 e ^ x sin2x -1/2 e ^ x cos2x} + # #

# _ = 1/10 {e ^ x sin2x -2 e ^ x cos2x} + C #