उत तर:
पहल स ह यह जव ब द य ।
स पष ट करण:
आपक पहल ख जन क जर रत ह # Sin18 ^ @ #ज सक ल ए व वरण यह उपलब ध ह ।
तब आप प र प त कर सकत ह # Cos36 ^ @ # ज स यह द ख य गय ह ।
उत तर:
हमन सल झ य #cos (2 थ ट) = cos (3 थ ट) # य # 2x ^ 2-1 = 4x ^ 3-3x # क ल य # x = cos 144 ^ circ # और प ओ #cos 36 ^ circ = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5})। #
स पष ट करण:
हम म ल #cos 36 ^ सर क # क स इन क ल ए डबल और ट र पल ए गल फ र म ल स अप रत यक ष र प स । यह बह त अच छ ह क यह क स क य ज त ह, और एक आश चर यजनक अ त ह त ह ।
हम पर ध य न क द र त कर ग #cos 72 ^ सर क #। क ण # थ ट = 72 ^ circ # स त ष ट
#cos (2 थ ट) = cos (3 थ ट)। #
क ल ए ह क हल करत ह # थ ट #, य द करत ह ए #cos x = cos a सम ध न ह #x = pm a + 360 ^ circ k। #
# 2 थ ट = द पहर 3 थ ट + 360 ^ सर क k #
# 5 थ ट = 360 ^ सर क k # य # -त = 360 ^ सर क k #
# ट ट = 72 ^ सर क k #
वह भ श म ल ह # 360 ^ सर क k # इसल ए हम "य " भ ग क छ ड सकत ह ।
म यह एक रहस य नह ल ख रह ह (आश चर य सम प त ह न क ब वज द) इसल ए म इसक उल ल ख कर ग #cos (2 (72 ^ सर)) = क स (144 ^ सर) = - क स (36 ^ सर) # एक व ध सम ध न भ ह और हम द खत ह क यह प रश न स क स स ब ध त ह ।
#cos (2 थ ट) = cos (3 थ ट) #
# 2 क स ^ 2 थ ट -1 = 4 क स ^ 3 थ ट - 3 क स थ ट #
अब छ ड # x = cos थ ट #
# 2 x ^ 2 -1 = 4 x ^ 3 - 3x #
# 4 x ^ 3 - 2x ^ 2 - 3x +1 = 0 #
हम ज नत ह # x = cos (0 _ 72 ^ सर) = 1 # एक सम ध न त ह # (एक स 1) # एक क रक ह:
# (x - 1) (4 x ^ 2 + 2x - 1) = 0 #
द व घ त क जड ह
#x = 1/4 (-1 pm sqrt {5}) #
सक र त मक एक ह न च ह ए #cos 72 ^ सर क # और नक र त मक एक #cos 144 ^ सर क #.
#cos 144 ^ सर क = 1/4 (-1 - वर गर ट {5}) #
#cos 36 ^ circ = cos (180 ^ circ - 144 ^ circ) = -cos 144 ^ circ = 1/4 (1 + sqrt {5}) #
यह जव ब ह । आश चर य क ब त ह क यह स वर ण म अन प त क आध ह !
