उत तर:
ज स क स द प स न ह न बत य ह # -1 + sqrt3i # श न य नह ह । (म ज च करन क ल ए उप क ष त ह ।) अन य श न य ह # 1-sqrt3 i # तथ #1#.
स पष ट करण:
क य क सभ ग ण क व स तव क स ख य ए ह, क स भ क ल पन क श न य क स य ग म ज ड म ह न च ह ए।
इसल ए, # 1-sqrt3 i # एक श न य ह ।
अगर #स # एक श न य ह # Z-स # एक क रक ह, इसल ए हम ग ण कर सकत ह
# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # ल न # Z ^ 2-2Z 4 #
और फ र ब ट #P (z) # उस द व घ त द व र ।
ल क न इसक ल ए स भ व त तर कस गत श न य पर व च र करन जल द ह # प # प रथम। य द खन क ल ए ग ण क ज ड #1# एक श न य भ ह ।
उत तर:
#1# तथ # 1 - sqrt3 i #
स पष ट करण:
आपक प रश न म क ई त र ट ह । जड ह न च ह ए # 1 + sqrt3 i #। आप इस अभ व यक त म म न ड लकर सत य प त कर सकत ह । यद यह एक जड ह त अभ व यक त क श न य क म ल य कन करन च ह ए।
अभ व यक त म सभ व स तव क ग ण क ह, इसल ए क म प ल क स क ज ग ट र ट स प रम य (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem) द व र, हम र प स अन य जट ल म ल ह # 1 - sqrt3 i #, स पष ट र प स, त सर जड (कहत ह #ए#) क व स तव क ह न च ह ए, क य क इसम एक जट ल स य ग म नह ह सकत ह; अन यथ 4 जड ह ग, ज क 3 ड ग र क सम करण क ल ए स भव नह ह ।
ध य न द
# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #
# = (z (1 - + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #
# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (जबस # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)
# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #
# = z ^ 2 - 2z + 4 #
हम इस क रक क अभ व यक त म ल न क प रय स कर ग ।
हम ल ख सकत ह:
# प (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #
# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #
# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #
# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 1) # #
उत तर:
एक पर चय क र प म, म झ लगत ह क जड ह न च ह ए #color (न ल) (1 + sqrt3) # और नह #color (ल ल) (- 1 + sqrt3) #
उस आध र पर म र जव ब ह :
#z म {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #
स पष ट करण:
क व च र क उपय ग करक जट ल स य ग म और क छ अन य श त च ल.
#P (z) # ड ग र क बह पद ह #3#। इसक मतलब यह ह क यह क वल ह न च ह ए #3# जड ।
जट ल जड क ब र म एक द लचस प तथ य यह ह क व कभ अक ल नह ह त ह ज ड क म ल ए.
त अगर # 1 + isqrt3 # एक जड ह, फ र उसक स य ग म ह: # 1-isqrt3 # सबस न श च त र प स एक जड भ ह !
और च क अभ एक और र ट ब क ह, हम उस र ट क क ल कर सकत ह # Z = एक #.
यह एक जट ल स ख य नह ह क य क, जट ल जड हम श ज ड म ह त ह ।
और च क यह आख र ह #3# जड, पहल एक क ब द क ई अन य ज ड नह ह सकत ह !
क क रक म अ त #P (z) # आस न स प ए गए # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "और" (z-a) #
NB: ध य न द क एक जड और एक क रक क ब च क अ तर ह:
- एक जड ह सकत ह # ज ड = 1 + म #
ल क न स गत क रक ह ग # Z- (1 + i) #
द सर ट र क ह, फ क टर ग क द व र #P (z) # हम क छ इस तरह स म लन च ह ए:
#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #
अगल, ब र स ज क व स त र कर, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #
# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #
# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #
# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-एक -2) + z (2 ए 4) -4a #
अगल, हम इस म ल बह पद क सम न बन त ह #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #
# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-एक +2) + z (-2a 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #
च क द बह पद सम न ह, हम ग ण क क बर बर ह # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #तथ # Z ^ 0 #(न र तर अवध) द न ओर,
दरअसल, हम स र फ एक सम करण च नन और उसक सम ध न क जर रत ह #ए#
न र तर शब द क बर बर करन, # => - 4 ए = -4 #
# => एक = 1 #
इसल ए अ त म जड ह #color (न ल) (ज ड = 1) #
