एस म प ट (एस) और ह ल (एस), यद क ई ह , एफ (एक स) = एक सस न (1 / x) क य ह ?

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

ख र, वह एक छ द ह # X = 0 #, व भ जन क ब द स #0# स भव नह ह ।

हम फ क शन क ग र फ कर सकत ह:

ग र फ {xsin (1 / x) -10, 10, -5, 5}

क ई अन य स पर श न म ख य छ द र नह ह ।

उत तर:

#F (एक स) # पर एक छ द (हट न य ग य अस त लन) ह # X = 0 #.

इसम एक क ष त ज व षमत भ ह # Y = 1 #.

इसक क ई ऊर ध व धर य त रछ नह ह ।

स पष ट करण:

द य ह आ:

#f (x) = x प प (1 / x) #

क क छ ग ण क उपय ग कर ग #sin (t) #, अर थ त:

• # ल ब स (प प ट) <= 1 "" # क सभ व स तव क म ल य क ल ए # ट #.

• # स ल_ (t-> 0) प प (t) / t = 1 #

• #sin (-t) = -sin (t) "" # क सभ म ल य क ल ए # ट #.

पहल ध य न द #F (एक स) # एक सम न क र य ह:

#f (-x) = (-x) प प (1 / (- x)) = (-x) (- प प (1 / x)) = x प प (1 / x) = f (x) #

हम ढ ढ:

# ज ब स (x sin (1 / x)) = abs (x) abs (sin (1 / x)) <= abs (x)

इसल ए:

# 1 <= lim_ (x-> 0+) abs (x sin (1 / x)) <= lim_ (x-> 0+) abs (x) = 0 #

च क यह ह #0#, त ह #lim_ (x-> 0+) x प प (1 / x) #

इसक अल व, जब स #F (एक स) # सम ह:

#lim_ (x-> 0 ^ -) x प प (1 / x) = lim_ (x-> 0 ^ +) x प प (1 / x) = 0 #

ध य न द क #F (0) # अपर भ ष त ह, क य क इसम व भ जन श म ल ह #0#, ल क न ब ए और द ए द न स म ए म ज द ह और इस पर सहमत ह # X = 0 #, त यह वह एक छ द (हट न य ग य अस यम) ह ।

हम यह भ प त ह:

#lim_ (x-> oo) x प प (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ +) प प (t) / t = 1 #

इस तरह:

#lim_ (x -> - oo) x प प (1 / x) = lim_ (t-> 0 ^ -) प प (t) / t = 1 #

इसल ए #F (एक स) # एक क ष त ज स पर श न म ख ह # Y = 1 #

ग र फ {x प प (1 / x) -2.5, 2.5, -1.25, 1.25}