उत तर:
#int (3Dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #
स पष ट करण:
#int (3Dx) / (x ^ 2 + x + 1) #
=# (12 ड एक स) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #
=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #
=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + स #
उत तर:
#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #
स पष ट करण:
जब भ हम हर म एक द व घ त ह त ह और नह #एक स#अ श म, हम न म नल ख त र प म अभ न न प र प त करन च हत ह:
#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #
हम र म मल म, हम वर ग क प र करक और फ र एक प रत स थ पन क उपय ग करक ऐस कर सकत ह ।
# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + K #
# X ^ 2 + x + 1 = एक स ^ 2 + x + 1/4 + K #
# K = 3/4 #
# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #
# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #
हम एक य -प रत स थ पन प श करन च हत ह ज स:
# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #
हम हल कर सकत ह #एक स# यह पत लग न क ल ए क इस प रत स थ पन क क य आवश यकत ह:
# X + 1/2 = sqrt3 / 2U #
# एक स = sqrt3 / 2U-1/2 #
क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #, हम क व य त पन न स ग ण करत ह #एक स# इसक स ब ध म # य #:
# Dx / (ड) = sqrt3 / 2 #
# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #
# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #
# = 2sqrt3tan ^ -1 (य) + स #
अब हम हल कर सकत ह # य # क अन स र #एक स# फ र स श र करन क ल ए:
# U = (2x + 1) / sqrt3 #
इसक मतलब ह क हम र अ त म उत तर ह:
# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + स #
