Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) अप क ष म न क गणन कर क स भ समय t = t_1 क ब द, phi_n अन त क षमत क ऊर ज प रत र प ह ? E_0 क स दर भ म उत तर द ?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) अप क ष म न क गणन कर क स भ समय t = t_1 क ब द, phi_n अन त क षमत क ऊर ज प रत र प ह ? E_0 क स दर भ म उत तर द ?
Anonim

ख र, म झ म लत ह # 14 / 5E_1 #… और आपक च न ह ई प रण ल क द खत ह ए इस फ र स व यक त नह क य ज सकत ह # E_0 #.

इस सव ल म बह त स र क व टम म क न क स न यम त ड गए ह …

  • # Phi_0 #, क य क हम अन त स भ व त अच छ तरह स सम ध न क उपय ग कर रह ह, स वच ल त र प स ग यब ह ज त ह … # एन = 0 #, इसल ए # स न (0) = 0 #.

और स दर भ क ल ए, हमन ज न द य थ #phi_n (x) = sqrt (2 / L) प प ((npix) / L) #…

  • यह ह अस भव क स दर भ म उत तर ल खन क ल ए # E_0 # इसल य # एन = 0 # अन त क षमत क ल ए म ज द नह ह । जब तक आप कण नह च हत ग यब , म झ इस अवश य ल खन च ह ए # E_n #, # एन = 1, 2, 3,। । । #…

  • ऊर ज गत क एक स थ र क ह, अर थ त # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

त अब…

#P__A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) प प ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) प प ((2pix) / L) #

उम म द क म ल य गत क एक न र तरत ह, इसल ए हम परव ह नह ह क क य समय ह # T_1 # हम च न ग । अन यथ, यह एक र ढ व द प रण ल नह ह …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = = __ # क छ क ल ए # एन = 1, 2, 3,। । । #

व स तव म, हम पहल स ह ज नत ह क यह क य ह न च ह ए, क य क एक आय म अन त क षमत व ल ह म ल टन क ल ए समय-समय पर …

#HH = -hat ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

और यह # (ई ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (ई ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # अभ न न म 1 पर ज ए:

# र ग (न ल) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0 ^) (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

जह हम र प स ह #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #। फ र स, सभ चरण क रक रद द ह ज त ह, और हम ध य न द त ह क ऑफ-व कर ण शब द श न य क क रण ज त ह # Phi_n #.

हर क म नद ड ह # स ई #, ज ह

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

इसल ए, # << स ई | स ई >> = 5/6 #। द त ह क:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) प प ((pix) / L) रद द (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) प प ((प क स) / L) रद द (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) प प ((2pix) / L) रद द (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (d ^ ^ 2) प प ((2pix) / एल) क रद द (ई ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

ड र व ट व ल ग कर:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) प प ((प क स) / L)) ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 ((प क स) / एल) ड एक स + १/२ (२ / एल) इ ट_ (०) ^ (एल) स न ((२ प क स) / एल) 2 ^ २ / (२ एम) क ड (४ 2प ^ २) / एल ^ २ प प ((2pix) / एल) dx #

लग त र त रत रहत ह:

# = 6/5 1/3 (6 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) प प ((प क स) / L) प प ((प क स) / L)) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) प प ((2pix) / L) प प ((2pix) / L) xx #

और यह अभ न न श र र क क रण क ब च आध र स त क ल ए ज न ज त ह #0# तथ # एल #, स वत त र # उपलब ध नह #:

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 /) एल) एल / 2 #

# = 6/5 1/3 (ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4 ^ ^ 2pi ^ 2) / ((2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = र ग (न ल) (14/5 E_1) #

उत तर:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

स पष ट करण:

प रत य क स थ र र ज य ऊर ज eigenvalue क अन र प ह # E_n # एक चरण क रक उठ त ह # ई ^ {- iE_n t} # समय पर व क स। द य गय र ज य ह नह एक स थ र स थ त - च क यह व भ न न eigenvalues स स ब ध त ऊर ज eigenstates क स परप ज शन ह । नत जतन, यह समय पर ग र-त च छ तर क स व कस त ह ग । ह ल क, Schroedinger सम करण ज र ज य क समय व क स क न य त र त करत ह र ख क ह - त क प रत य क घटक ऊर ज स वद श स वत त र र प स व कस त ह - अपन स वय क चरण क रक उठ ।

त, श र आत तर ग-क र य

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

समय म व कस त ह त ह # ट # स व म र

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / _t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_ / ℏ t} + sqrt (1) / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / # t} #

इस प रक र, समय पर ऊर ज क उम म द क म ल य # ट # द व र द य गय ह

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) ह ट {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / _ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2} t}) ह ट {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / E t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / x t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / _ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 /) 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 /) t}) ब र (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ {{ -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / _2 t}) dx #

जह हमन इस तथ य क उपय ग क य ह क #phi_i (एक स) # ऊर ज ऊर ज ह, त क # क य {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

यह अभ भ हम न पद द त ह । ह ल क, अ त म गणन इस तथ य स बह त सरल ह क ऊर ज eigenfunctions ऑर थ -स म न य क त ह, अर थ त। व म नत ह

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {iS} #

इसक मतलब यह ह क न अभ न न ल ग म स क वल त न ज व त ह, और हम प र प त करत ह

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

म नक पर ण म क उपय ग करन #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, हम र प स ह # E_1 = 4E_0 # तथ # E_2 = 9E_0 # अन त क षमत क ल ए अच छ तरह स (आप एक अभ व यक त क ल ए अध क उपय ग क य ज सकत ह ज कहत ह #E_n propto n ^ 2 # एक अन त क ए क ल ए - ल क न इन म जम न अवस थ क ल बल लग ह आ ह # E_1 # - यह हम इस ल बल कर रह ह # E_0 # - इसल ए पर वर तन)। इस प रक र

# <E> = (1/6 ग न 1 + 1/3 ग न 4 + 1/2 ग न 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

ध य न द:

  1. जबक व यक त गत ऊर ज eigenfunctions एक चरण क रक, समग र तर ग फ क शन क उठ कर समय म व कस त ह त ह नह करत बस एक चरण क रक द व र प र र भ क एक स अलग - यह क रण ह क यह अब स थ र स थ त नह ह ।
  2. इसम श म ल अभ न न अ ग थ

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e {i (i_i-E_j) / ℏt} ब र int_-infty ^ infi psi_i (x) psi_j (x) dx #

    और य ऐस द खत ह ज स व समय पर न र भर ह । ह ल क, एकम त र अभ न न ज ज व त ह व ह # म = j # - और य ठ क उस तरह ह ज सक ल ए समय न र भरत रद द करत ह ।

  3. अ त म पर ण म इस तथ य क स थ फ ट ब ठत ह क #hat {एच} # स रक ष त ह - भल ह र ज य एक स थ र र ज य नह ह - ऊर ज अप क ष म ल य समय स स वत त र ह ।
  4. म ल तर ग फ क शन पहल स स म न य क त ह # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # और यह स म न य करण समय क व क स म स रक ष त ह ।
  5. यद हम एक म नक क व टम य त र क पर ण म क उपय ग कर च क ह त हम बह त स र क म म कट त कर सकत ह - यद एक तर ग फ क शन क व स त र र प म क य ज त ह #psi = sum_n c_n phi_n # जह # Phi_n # एक हर म ट यन ऑपर टर क eigenfunctions ह #hat {a} #, # क य {A} phi_n = lambda_n phi_n #, फ र # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, बशर त क र ज य ठ क स स म न य क त ह ।
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