आज ञ द V = R, और W = {(x, y, z) x + y + z = 0} V क एक उप-भ ग ह । न म नल ख त म स क न स ज ड द र व क टर V क V क सम न ब रह म ड म ह ? (I) (1,3,2) और (2,2,2)। (Ii) (1,1,1) और (3,3,3)।

उत तर:

# #

# # mbox {i)} _ (1,3,2) mbox {और} (2,2,2): #

# / qquad qquad qquad mbox {एक ह क स ट}} W स स ब ध त ह । #

# # mbox {ii)} (1,1,1) mbox {और} (3,3,3): #

# / qquad qquad qquad mbox {क }} cos} स स ब ध त नह ह । #

स पष ट करण:

# #

# # mbox {1) ध य न द क,} W, mbox {द व र द ए गए} द व र हम _ _ _ mbox {} क तत व क _ _ _ _ क व क टर क र प म वर ण त कर सकत ह । mbox {जह न र द श क क } mbox {} ह } 0. #

# #

# # mbox {2) अब य द रख क:} #

# # mbox {द व क टर क स भ उप-सम ह क एक ह क स ट क ह } #

# qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad iff #

# / qquad mbox {उनक अ तर ख द उप-वर ग क अ तर गत आत ह }। #

# #

# # mbox {3) इस प रक र} W, mbox {क एक ह क स ट म सदस यत न र ध र त करन क ल ए, यह न र ध र त करन पर य प त और पर य प त ह क क य उन व क टर क { mbox {अ तर}} W: # स स ब ध त ह

# q /quad vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {उस coset of}, W quad iff quad vec {v_1} - vec {vc} _ in W । #

# #

# # mbox {इसल ए, ऊपर (1) {} W mbox {क व वरण द व र, हम र प स:} # #

# vec {v_1}, vec {v_2} in mbox {सम न coset of} W quad iff quad mbox {} (ve {v_1) क न र द श क क य ग। -> vec {v_2}) = 0. #

# #

# # mbox {यह इस स ध रण स गणन क व षय ह ।} #

# #

# 4) mbox {द ज ड ह ई व क टर क स थ आग बढ न, और} mbox {प रत य क ज ड पर यह गणन करन, हम प त ह: #

# # क व ड mbox {i)} _ (1,3,2) - (2,2,2) = (-1,1,0), mbox {और इसल ए} #

# /quad qquad mbox {{क व ड क न र द श क क य ग (-1,1,0% = = #)

# # mbox {इसल ए:} qquad qquad qquad (1,3,2) mbox {और} (2,2,2) #

# / qquad qquad qquad qquad mbox {एक ह क स ट}} क ह । #

# #

# # क व ड mbox {ii)} (1,1,1) - (3,3,3) = (2,2,2), mbox {और इसल ए} #

# / qquad qquad mbox {} क न र द श क क य ग _ _ क व ड (2,2,2) = 6% n 0. #

# # mbox {इसल ए:} qquad qquad qquad (1,1,1) mbox {और} (3,3,3) #

# / qquad quad quad quad mbox {उस क ष ठक स स ब ध त नह ह ज _ _ ह । #