म इस अ तर सम करण क क स हल कर सकत ह ?

उत तर:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

स पष ट करण:

यह ह एक व य ज य अ तर सम करण, ज सक स ध स मतलब ह क सम ह बन न स भव ह #एक स# शर त और # Y # सम करण क व पर त पक ष पर शर त । त, यह वह ह ज हम पहल कर ग:

# (e ^ x) y ड ई / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) ड ई / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) ड ई / dx = e ^ (- y) / y #

अब, हम प र प त करन च हत ह व ई क स थ पक ष पर ड ई, और एक स क स थ पक ष पर ड एक स। हम फ र स व यवस थ त करन क आवश यकत ह ग:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) ड ई #

अब, हम द न पक ष क एक क त करत ह:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) 5 #

आइए प रत य क अभ न न अ ग क बदल म कर:

1. # ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

सबस पहल, आइए इसक अल व / घट व न यम द व र 2 अलग-अलग इ ट ग रल स म व भ ज त कर:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

य तरह-तरह क कष टप रद लगत ह । ह ल क, हम उन ह अच छ लगन क ल ए थ ड बदल व कर सकत ह (और हल करन क ल ए बह त आस न):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

य द न अब सरल ह # य #-स बह क एक करण। यद आप स ट करत ह #u = -x # तथ # -3x # क रमश, आपक इसक उत तर म ल ग:

# => -ई ^ (- x) - ई ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) ड ई #

# यद हम नक र त मक घ त क क सक र त मक बन त ह, त हम प र प त करत ह:

#int (त ^ y) ड व ई #

हम इसक ल ए भ ग द व र एक करण क उपय ग करन क आवश यकत ह ग । स त र ह:

#int (य व) ड व ई = य व प र ण क (v * ड) #

हम स ट करन ज रह ह #u = y #, तथ #dv = e ^ y ड ई #। क रण यह ह क हम एक आस न च हत ह # ड # उस अ त म एक करण क ल ए, और यह भ क य क # ई ^ y # एक क त करन क ल ए बह त आस न ह ।

इसल ए:

#u = y #

# => ड = ड ई #

#dv = e ^ y ड ई #

#v = e ^ y #

अब, हम स र फ प लग और च ग:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) ड ई #

# = त ^ य - ई ^ य #

सब क छ व पस म ड ल:

# त ^ य - ई ^ य = -ई ^ (- x) - ई ^ (- 3x) / 3 + C #

नक र त मक घ त क स छ टक र:

# त ^ य - ई ^ य = -1 / ई ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

और यह एक बह त अच छ अ त म जव ब ह । यद आप हल करन च हत थ # Y #, आप कर सकत ह, और आप क स थ सम प त ह ग

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

ध य न द क हम र प स नह ह # + # # इस सम करण क LHS पर। इसक क रण यह ह क भल ह हमन इस ड ल द य थ, हम अ तत इस आरएचएस स घट द ग, और एक मनम न स थ र ऋण एक मनम न स थ र अभ भ ह (इसक ल ए प रत क ष कर) एक मनम न स थ र क। इसल ए, इन समस य ओ क ल ए जब तक आप अपन # + स # सम करण क क स एक पक ष पर, आप ठ क ह ज ए ग ।

उम म द ह क मदद क:)