घ त य वर ग क क र य त मक न र तर अ श (FCF) क a (cf) (x; b) = a ^ (x + b / (a ^ (x + b / a ^ (x + ...)))) द व र पर भ ष त क य गय ह । , a> 0. एक = e = 2.718281828 .. स ट करन पर, आप क स स ब त करत ह क e_ (cf) (0.1; 1) = 1.880789470, लगभग?

उत तर:

द ख स पष ट करण …

स पष ट करण:

चल #t = a_ (cf) (x; b) #

फ र:

#t = a_ (cf) (x; b) = a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + b / a ^ (x + …))) = a ^ (x + b / (a_ (cf) (x; b)) = a ^ (x + b / t) #

द सर शब द म, # ट # म नच त रण क एक न श च त ब द ह:

#F_ (ए, ब, एक स) (ट) = ए ^ (एक स + ब / ट) #

ध य न द क स वय द व र, # ट # क एक न श च त ब द ह #F (ट) # यह स ब त करन क ल ए पर य प त नह ह #t = a_ (cf) (x; b) #। अस थ र और स थ र न श च त ब द ह सकत ह ।

उद हरण क ल ए, #2016^(1/2016)# क एक न श च त ब द ह #x -> x ^ x #, ल क न क सम ध न नह ह # x ^ (x ^ (x ^ (x ^ …))) = 2016 # (क ई उप य नह ह)।

ह ल क, हम व च र कर # ए = ई #, #x = 0.1 #, # ब = 1.0 # तथ #t = 1.880789470 #

फ र:

#F_ (ए, ब, एक स) (ट) = ई ^ (0.1 + 1 / 1.880789470) #

# ~~ ई ^ (0,1 + 0,5316916199) #

# = ई ^ ०.६३१६९१६१९९ #

# ~ 1.880789471 ~~ t #

त इस म ल य क # ट # क एक न श च त ब द क बह त कर ब ह #F_ (ए, ब, एक स) #

यह स ब त करन क ल ए क यह स थ र ह, व य त पन न क प स पर व च र कर # ट #.

# d / (ds) F_ (e, 1,0.1) (s) = d / (ds) e ^ (0.1 + 1 / s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) #

त हम प त ह:

# एफ '_ (ई, 1,0.1) (ट) = -1 / ट ^ 2 ई ^ (0.1 + 1 / ट) = -1 / ट ^ 2 * ट = -1 / ट ~~ -0.5316916199 #

च क यह ऋण त मक और न रप क ष म न स कम ह #1#न र ध र त ब द पर # ट # स थ र ह ।

क स भ ग र-श न य व स तव क म ल य क ल ए भ ध य न द # र # हम र प स ह:

#F '_ (e, 1,0.1) (s) = -1 / s ^ 2 e ^ (0.1 + 1 / s) <0 #

अर थ त #F_ (ई, 1,0.1) (र) # सख त स न रसत कम ह रह ह ।

इसल य # ट # अद व त य स थ र स थ र ब द ह ।

उत तर:

स व द त मक व यवह र।

स पष ट करण:

स थ म # ए = ई # तथ #x = x_0 # य त र न म न न स र ह

#y_ {k + 1} = e ^ {x_0 + b / y_k} # और भ

#y_k = e ^ {x_0 + b / y_ {k-1}} #

आइए हम प नर व त त ऑपर टर म एक स क चन क ल ए शर त क ज च करत ह ।

द न पक ष क अलग करन

#y_ {k + 1} -y_k = e ^ {x_0} (e ^ {b / y_k} -e ^ {b / y_ {k-1}}) #

ल क न पहल सन न कटन म

# e ^ {b / y_k} = e ^ {b / y_ {k-1}} + d / (dy_ {k-1}) (e ^ (b / y_ {k-1})) (y_k-y_ {) {k-1}) + O ((y_ {k-1}) ^ २) #

य

# e ^ {b / y_k} - e ^ {b / y_ {k-1}} लगभग -b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2 ({ y_k-y_ {k-1}) #

एक स क चन क ल ए हम च ह ए

#abs (y_ {k + 1} -y_k) <abs (y_k-y_ {k-1}) #

यद यह प र प त ह ज त ह

#abs (e ^ {x_0} b (e ^ {b / y_ {k-1}}) / (y_ {k-1}) ^ 2) <1 #। म न # ब > 0 # तथ #k = 1 # हम र प स ह ।

# x_0 + b / y_0 <2 log_e (y_0 / b) #

त द य # X_0 # तथ # B # यह स ब ध हम स व द त मक व यवह र क तहत प र र भ क प नर व त त ख जन क अन मत द त ह ।