उत तर:
स पर शर ख र ख क सम न तर ह #एक स# ध र जब ढल न (इसल ए # व / dx #) श न य ह और यह इसक सम न तर ह # Y # ध र जब ढल न (फ र स, # व / dx #) ज त ह # ऊ # य # -Oo #
स पष ट करण:
हम ख ज कर श र कर ग # व / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y ड ई / dx = 0 #
# ड ई / ड एक स = - (2x + y) / (x + 2y) #
अभ व, # ड ई / ड एक स = 0 # जब nuimerator ह #0#, बशर त क यह भ भ जक न बन ए #0#.
# 2x + y = 0 # कब # आपक = -2x #
अब हम र प स द सम करण ह:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# आपक = -2x #
हल (प रत स थ पन द व र)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
क उपय ग करत ह ए # आपक = -2x #, हम म ल
वक र क स पर शर ख द ब द ओ पर क ष त ज ह:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # तथ # - - sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(ध य न द क य ज ड भ नह बन त ह # व / dx # क बर बर #0#)
उन ब द ओ क ख जन क ल ए ज न पर स पर शर ख ल बवत ह, क भ जक बन ए # व / dx # बर बर tpo #0# (ब न अ श क भ #0#).
हम सम ध न क म ध यम स ज सकत ह, ल क न सम करण क समर पत ज हम म ल ग:
# एक स = -2y #, इसल ए
# आपक = + - sqrt21 / 3 #
और ज स ब द पर स पर शर ख ल बवत ह उस ब द पर ह:
# - (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # तथ # (2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
व स । क य क हम र प स तकन क ह, यह इस घ म ए गए द र घव त त क ग र फ ह: (ध य न द क # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # ज स आप ग र फ पर द ख सकत ह ।)
ग र फ {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11.3, 11.2, -5.665, 5.585}}
उत तर:
क वल म ड ल स क ल गण त क उपय ग करक म झ म लत ह
X अक ष क सम न तर स पर शर ख:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) और (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Y अक ष पर सम न तर स पर शर ख:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) और (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
स पष ट करण:
म न ज म क उत तर क द ख, ज एक अच छ, म नक पथर उपच र क तरह द खत ह । ल क न म मदद नह कर सक, ल क न स कर त भ म क सभ म ड ल स क ल व ल क ल ए द ख क ब त ह ज ब ज य घटत क स पर शर ख क ढ ढन च हत ह ल क न अभ भ पथर स द र ह ।
स भ ग य स व क वल ब जगण त I क उपय ग करक इन समस य ओ क कर सकत ह ।
# X ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
यह पहल उद हरण क ल ए थ ड जट ल ह सकत ह, ल क न चल इसक स थ चलत ह । हम अपन वक र क र प म ल खत ह #F (एक स, व ई) = 0 # कह प
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
चल ल ल # (आर, र) # एक ब द क र प म # च #। हम ज च करन च हत ह # च # प स म # (आर, र) # इसल ए हम ल खत ह
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
हम व स त र करत ह, ल क न हम अ तर शब द क व स त र नह करत ह # एक स आर # तथ # Y-र #। हम उन च ज क बरकर र रखन च हत ह त क हम ब द म इस खत म कर सक ।
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2 (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) व ईएस) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
हम कह # (आर, र) # च ल ह # च # इसल ए #F (आर, र) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s #)
हमन शब द क ड ग र द व र क रमबद ध क य, और हम सन न कटन क स थ प रय ग कर सकत ह # च # प स म # (आर, र) # उच च ड ग र छ ड न स । व च र तब ह # (एक स, व ई) # क प स ह # (आर, र) # फ र # एक स आर # तथ # Y-र # छ ट ह, और उनक वर ग और उत प द अभ भ छ ट ह ।
चल बस क छ सन न कटन उत पन न करत ह # च #। जबस # (आर, र) # वक र पर ह, न र तर अ तर, सभ अ तर शब द क छ ड त ह, ह
# f_0 (x, y) = 0 #
यह व श ष र प स र म चक नह ह, ल क न यह हम सह ढ ग स अ क बत त ह # (आर, र) # क ल ए श न य क प स एक म ल य द ग # च #.
आइए अध क द लचस प ह और र ख क शब द रख ।
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
जब हम इस श न य पर स ट करत ह, त हम सबस अच छ र ख क सन न कटन प र प त ह त ह # च # प स म # (R, s), # क न स स पर शर ख स व म र # च # पर # (आर, र)। # अब हम कह ज रह ह ।
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
हम अन य अन म न पर भ व च र कर सकत ह:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
य उच च क रम स पर शर ख ए ह, ज क क ल ज क गण त क छ त र क श यद ह कभ म लत ह । हम पहल ह क ल ज क लक लस स आग न कल गए ह ।
अध क अन म न ह, ल क न म झ च त वन द ज रह ह क यह ल ब ह रह ह । अब जब हमन स ख क क वल ब जगण त I क उपय ग करक पथर क स कर, त समस य करत ह ।
हम उन ब द ओ क ख जन च हत ह जह स पर शर ख र ख क सम न तर ह #एक स# अक ष और # Y # एक स स।
हमन अपन स पर शर ख र ख पर प य # (आर, र) # ह
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
क सम तर #एक स# अक ष क अर थ ह एक सम करण # आपक = प ठ {स थ र} #। त ग ण क पर #एक स# श न य ह न च ह ए:
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (आर, र) # वक र पर ह #F (आर, र) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
जबस # एस = -2r # ब द ह
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) और (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
इस प रक र y अक ष क सम न तर क अर थ ह # 2s + r = 0 # ज समस य क समर पत क क रण बस x और y स व प करन च ह ए। त अन य ब द ह
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) और (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
च क।
क स प रक र ज च कर ? एक अल फ प ल ट करत ह ।
प ल ट x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt / 7/3 }
अछ लगत ह । ब ज य घटत पर कलन। म ड ल स क ल क ल ए बह त अच छ ह ।
