द ख ए क त न परस पर ल बवत स पर शर ख व म न क च र ह क ब द स द र घव त त य क ल ह ड तक क म र ग क पत लग न क ल ए ^ 2 + द व र ^ 2 + cz ^ 2 = 1 एक क द र क सम न ग लक ह ज द र घव त त क सम न ह ?

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

क ल ग # ई> च (एक स, व ई, ज ड) = क ल ह ड ^ 2 + द व र ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

अगर E # म #p_i = (x_i, y_i, z_i) फ र

# Ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # एक व म न स पर शर ख ह # ई # क य क एक स म न य ब द और ह #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # क ल ए स म न य ह # ई #

चल # प ई-> अल फ x + ब ट y + ग म z = ड ल ट # एक स म न य व म न स पर शर ख ह # ई # फ र

# {(x_i = अल फ / (एक ड ल ट)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c ड ल ट)):} #

पर त

# Ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # इसल ए

# अल फ ^ 2 / एक + ब ट ^ 2 / ब + ग म ^ 2 / स = ड ल ट ^ 2 # और स म न य स पर शर ख समतल सम करण ह

#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (अल फ ^ 2 / a + ब ट ^ 2 / b + ग म ^ 2 / c) #

अब त न ऑर थ ग नल प ल न द ए

# Pi_i-> अल फ _आई x + ब ट _आई y + ग म _आई z = ड ल ट _आई #

और ब ल रह ह #vec__ = (अल फ _आई, ब ट _आई, ग म _आई) # और बन रह ह

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # हम च न सकत ह

#V cdot V ^ T = I_3 #

और एक पर ण म क र प म

# V ^ Tcdot V = I_3 #

त हम र प स भ ह

# {(sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i Alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

अब ज ड रह ह #s__i (अल फ _आई x + ब ट _आई + ग म _ ज) ^ 2 # हम र प स ह

# x ^ 2sum_i Alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alp_i beta_i) + xssum (alp_i gamma_i) + sum (Beta_i gamma_i) = sum_i deli_i

और अ त म

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

पर त #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

इसल ए

# X ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / एक + 1 / ब + 1 / c #

ज त न परस पर स ध स पर शर ख व म न क च र ह क ब द स पत चलत ह

द र घव त त क ल ए एक भ ख ड स लग न

# X ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #