आप आ श क भ न न क उपय ग करक int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) क क स एक क त करत ह ?

उत तर:

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + स #

स पष ट करण:

हम ख जन क जर रत ह # ए, ब, स # ऐस ह क

# 1 / (एक स ^ 2 (2x -1)) = ए / एक स + ब / एक स ^ 2 + स / (2x -1) #

सबक ल ए #एक स#.

द न तरफ स ग ण कर # X ^ 2 (2x -1) # ल न

# 1 = क ल ह ड (2x -1) + ब (2x -1) + Cx 2 ^ #

# 1 = 2AX ^ 2AX + 2Bx-ब + Cx ^ 2 #

# 1 = (2 ए + C) x ^ 2 + (2 ब -ए) एक स-ब #

सम न ग ण क हम द त ह

# {(2 ए + स = 0), (2 ब -ए = 0), (- ब = 1):} #

और इस प रक र हम र प स ह # एक = -2, ब = -1, स = 4 #। प र र भ क सम करण म इस प रत स थ प त करत ह ए, हम प र प त करत ह

# 1 / (एक स ^ 2 (2x -1)) = 4 / (2x -1) -2 / एक स-1 / एक स 2 ^ #

अब, इस शब द द व र एक क त कर

#int 4 / (2x-1) dx-int 2 / x dx-int 1 / x ^ 2 _x #

ल न

# 2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + स #

उत तर:

उत तर ह # = 1 / एक स 2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + स #

स पष ट करण:

आ श क अ श म अपघटन कर

# 1 / (एक स ^ 2 (2x -1)) = ए / एक स ^ 2 + ब / x + स / (2x -1) #

# = (ए (2x -1) + bx (2x -1) + C (x ^ 2)) / (एक स ^ 2 (2x -1)) #

भ जक सम न ह, स ख य त मक क त लन कर

# 1 = एक (2x -1) + bx (2x -1) + C (x ^ 2) #

चल # X = 0 #, #=>#, # 1 = -एक #, #=>#, # एक = -1 #

चल # एक स = 1/2 #, #=>#, # 1 = स / 4 #, #=>#, # स = 4 #

क ग ण क # X ^ 2 #

# 0 = 2 ब + स #

# ब = -स / 2 = -4 / 2 = -2 #

इसल ए, # 1 / (एक स ^ 2 (2x -1)) = - 1 / x ^ 2-2 / एक स 4 / (2x -1) #

इसल ए, #int (1DX) / (एक स ^ 2 (2x -1)) = - प र ण क (1DX) / x ^ 2-प र ण क (2DX) / x + प र ण क (4DX) / (2x -1) #

# = 1 / एक स 2ln (| x |) + 2ln (| 2x-1 |) + स #