उत तर:
#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (प प (x) + cos (x)) + C #
स पष ट करण:
# म = int e ^ x cos (x) "d" x #
हम भ ग द व र एक करण क उपय ग कर ग, ज बत त ह क #int u "d" v = uv-int v "d" u #.
भ ग क स थ एक करण क उपय ग कर # य = ई ^ x #, # ड = ई ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, तथ # V = sin (x) #:
# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xin (x) "d" x #
द सर इ ट ग रल क स थ फ र स भ ग द व र एक करण क उपय ग कर # य = ई ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, तथ # V = -cos (एक स) #:
# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #
अब, हम पर भ ष त करत ह # म = int e ^ x cos (x) "d" x #। इस प रक र, उपर क त सम करण न म न ह ज त ह (एक करण क एक न र तरत क य द करत ह ए):
# म = ई ^ xsin (x) + ई ^ xcos (एक स) म + स #
# 2I = ई ^ xsin (x) + ई ^ xcos (x) + स = ई ^ x (प प (x) + cos (x)) + स #
# म = 1/2 ई ^ x (प प (x) + cos (x)) + स #
उत तर:
न च द ख ।
स पष ट करण:
ड म इवर क पहच न क उपय ग करन
# e ^ (ix) = cos x + i sin x # हम र प स ह
#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #
पर त #int e ^ ((1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ (((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix) = #
# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #
और अ त म
#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #
