क य करत ह -3sin (arccos (2)) - cos (च प cos (3)) बर बर?

उत तर:

समस य अय ग य

स पष ट करण:

ऐस क ई आर क नह ह क उनक क स इन 2 और 3 क बर बर ह ।

एक व श ल षण त मक द ष ट क ण स, # ARccOS # फ क शन क वल पर पर भ ष त क य गय ह #-1,1# इसल ए #arccos (2) # & #arccos (3) # म ज द नह ह ।

उत तर:

सच म # क य क # तथ # प प # इसक क ई हल नह ह, ल क न जट ल स ख य क क र य क र प म हम प त ह:

# -3 प प (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #

स पष ट करण:

व स तव क म ल य क व स तव क म ल य क र प म #एक स#क र य #cos (एक स) # तथ #sin (एक स) # क वल र ज म म न ल #-1, 1#, इसल ए #arccos (2) # तथ #arccos (3) # अपर भ ष त ह ।

ह ल क, इन फ क शन क पर भ ष क क म प ल क स फ क शन तक व स त र त करन स भव ह #cos (z) # तथ #sin (z) # न म नल ख त न स र:

क स थ श र:

# e ^ (ix) = cos x + i sin x #

#cos (-x) = क स (x) #

#sin (-x) = -sin (x) #

हम कट त कर सकत ह:

#cos (x) = (e ^ (ix) + e ^ (- ix)) / २ #

#sin (x) = (e ^ (ix) -e ^ (- ix)) / (2i) #

इसल ए हम पर भ ष त कर सकत ह:

#cos (z) = (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / २ #

#sin (z) = (e ^ (iz) -e ^ (- iz)) / (2i) #

क स भ जट ल स ख य क ल ए # Z #.

क कई म ल य क ख जन स भव ह # Z # वह स त ष ट ह #cos (z) = 2 # य #cos (z) = 3 #, इसल ए प र स पल व ल य क पर भ ष त करन क ल ए क छ व कल प ह सकत ह #arccos (2) # य #arccos (3) #.

उपय क त उम म दव र क ख जन क ल ए, हल कर # (e ^ (iz) + e ^ (- iz)) / २ = २ #, आद ।

ह ल क, ध य न द क पहच न # cos ^ 2 z + sin ^ 2 z = 1 # क स भ जट ल स ख य क ल ए रखत ह # Z #, त हम कट त कर सकत ह:

#sin (arccos (2)) = + -sqrt (1-2 ^ 2) = + -sqrt (-3) = + -sqrt (3) i #

म झ उम म द ह क प र स पल व ल य क इस तरह स पर भ ष त करन स भव ह #sin (arccos (2)) = sqrt (3) i # बज य # -Sqrt (3) i #.

क स भ स थ त म, #cos (आर क स (3)) = 3 # पर भ ष स ।

यह सब एक स थ रखकर, हम प त ह:

# -3 प प (arccos (2)) - cos (arccos (3)) = -3sqrt (3) i-3 #