प र थम क क र य क स दर भ म आप इस अभ न न क व यक त नह कर सकत ।
आपक ल ए एक करण क आवश यकत क आध र पर, आप एक करण य क स अन य तर क क चयन कर सकत ह ।
ब जल श र खल क म ध यम स एक करण
य द कर क # ई ^ x # पर व श ल षण त मक ह #mathbb {R} #, इसल ए # म थ इन x इन म थबब {आर} # न म नल ख त सम नत रखत ह
# ई ^ एक स = sum_ {एन = 0} ^ {+ infty} x ^ n / {n!} #
और इसक मतलब ह क
# ई ^ {x ^ 3} = sum_ {एन = 0} ^ {+ infty} (x ^ 3) ^ n / {n!} = Sum_ {एन = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n} } / {n!} #
अब आप एक क त कर सकत ह:
#int e ^ {x ^ 3} dx = int (sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n}} / {n!}) dx = c + sum_ {n = 0} ^ {+ infty} {x ^ {3n + 1}} / {(3n + 1) n!} #
अप र ण ग म सम र ह क म ध यम स एक करण
सबस पहल, व कल प # ट = -x ^ 3 #:
#int e ^ {x ^ 3} dx = - 1/3 int e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dx #
क र यक रम # ई ^ {x ^ 3} # न र तर ह । इसक मतलब ह क इसक आद म क र य ह #F: mathbb {R} स mathbb {R} # ऐस ह क
#F (y) = c + int_0 ^ y e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ {- y ^ 3} e ^ {- t} t ^ {- 2/3} dt #
और यह अच छ तरह स पर भ ष त ह क य क फ क शन #F (ट) = ई ^ {- ट } ट ^ {- 2/3} # इस तरह क ल ए ह #t स 0 # उसक प स ह त ह # एफ (ट) ~~ ट ^ {- 2/3} #, त क अन च त अभ न न # int_0 ^ s f (t) dt # पर म त ह (म कहत ह # एस = -y ^ 3 #).
त आपक प स वह ह
#int e ^ {x ^ 3} dx = c- 1/3 int_0 ^ s f (t) dt #
उस पर ध य न द #t ^ {- 2/3} <1 hrr t> 1 #। इसक मतलब ह क क ल ए #t + स + प दल # हम वह म लत ह #f (t) = e ^ {- t} * t ^ {- 2/3} <e ^ {- t} * 1 = e ^ {- t} #, त क # = int_1 ^ {+ infty} f (t) dt | <| int_1 ^ {+ infty} e ^ {- t} dt | = e #। इसल ए अन च त अभ न न क प लन करन #F (ट) # पर म त ह:
# c '= int_0 ^ {+ infty} f (t) dt = int_0 ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt = Gamma (1/3) #.
हम ल ख सकत ह:
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 (int_0 ^ {+ infty} f (t) dt -int_s ^ {+ infty} f (t) dt) #
अर थ त
#int e ^ {x ^ 3} dx = c-1/3 c '+1/3 int_s ^ {+ infty} e ^ {- t} t ^ {1/3 -1} dt #.
अ त म हम म लत ह
#int e ^ {x ^ 3} dx = C + 1/3 ग म (1/3, t) = C + 1/3 ग म (1/3, -x ^ 3) #
