1 / (1 + x ^ 3) dx क एक करण?

उत तर:

# 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x -1) / sqrt3) + स #

स पष ट करण:

भ जक क क रक द व र श र कर:

# 1 + x ^ 3 = (x + 1) (x ^ 2-x + 1) #

अब हम आ श क अ श कर सकत ह:

# 1 / (1 + x ^ 3) = 1 / ((x + 1) (x ^ 2-x + 1)) = ए / (x + 1) + (bx + c) / (x ^ 2-एक स +1) #

हम ढ ढ सकत ह #ए# कवर-अप व ध क उपय ग:

# एक = 1 / ((प ठ (////)) ((- 1) ^ 2 + 1 + 1)) = 1/3 #

अगल हम LHS भ जक द व र द न पक ष क ग ण कर सकत ह:

# 1 = 1/3 (x ^ 2-x + 1) + (bx + c) (x + 1) #

# 1 = 1 / 3x ^ 2-1 / 3x + 1/3 + Bx ^ 2 + bx + Cx + स #

# 1 = (1/3 + ब) x ^ 2 + (ब + स -1 / 3) x + (स + 1/3) #

यह न म नल ख त सम करण द त ह:

# 1/3 + ब = 0 -> ब = -1 / 3 #

# स + 1/3 = 1-> स = 2/3 #

इसक अर थ ह क हम अपन म ल अभ न न क फ र स ल ख सकत ह:

#int 1 / (1 + x ^ 3) dx = 1 / 3int 1 / (x + 1) - (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx #

पहल अभ न न एक स पष ट य -प रत स थ पन क उपय ग करक क य ज सकत ह, ल क न यह स पष ट ह क उत तर ह #ln | x + 1 | #:

# 1/3 (ln | x + 1 | -int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx) #

हम श ष अभ न न क द म व भ ज त कर सकत ह:

#int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) dx = 1 / 2int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) dx = #

# = 1/2 (int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx-int 3 / (x ^ 2-x + 1) dx) #

द व र ग ण और भ ग क स थ प रव चन क क रण #2# ब ए ह थ क आस न बन न क ल ए य -प रत स थ पन क उपय ग करन आस न ह ।

म ल फ ट इ ट ग रल इ ट ग रल 1 और र इट इ ट ग रल इ ट ग रल 2 कह ग

अभ न न १

#int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) dx #

च क हमन पहल स ह प रत स थ पन क ल ए इस अभ न न अ ग क त य र क य ह, हम क वल व कल प क आवश यकत ह # य = x ^ 2-x + 1 #, और व य त पन न ह # 2x -1 #, इसल ए हम इसक द व र स ब ध त क स थ एक क त करन क ल ए व भ ज त करत ह # य #:

#int रद द (2x-1) / (रद द कर (2x-1) * u) du = int 1 / u du = ln | u | + C = ln | x ^ 2-x + 1 | + C #

अभ न न २

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx #

हम इस इ ट ग रल क फ र म म ल न च हत ह:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

ऐस करन क ल ए, हम हर क ल ए वर ग क प र करन ह ग:

# X ^ 2-x + 1 = (एक स 1/2) ^ 2 + K #

# X ^ 2-x + 1 = x ^ 2-x + 1/4 + K #

# K = 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2-x + 1) dx = 3int 1 / ((x-1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

हम एक य -प रत स थ पन प श करन च हत ह ज स:

# (एक स 1/2) ^ 2 = 3 / 4U ^ 2 #

# एक स 1/2 = sqrt3 / 2U #

# एक स = sqrt3 / 2U + 1/2 #

हम सम म न क स थ व य त पन न स ग ण करत ह # य # क स ब ध म एक क त करन क ल ए # य #:

# Dx / (ड) = sqrt (3) / 2 #

# 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = 3sqrt3 / 2 * 1 / (3/4) int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (य) + C = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x -1) / sqrt3) + स #

म ल अभ न न क प र करन

अब जब हम इ ट ग रल 1 और इ ट ग रल 2 क जव ब ज नत ह, त हम अपन अ त म उत तर क प र प त करन क ल ए उन ह म ल अभ व यक त म व पस ल सकत ह:

# 1/3 (ln | x + 1 | -1 / 2ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3tan ^ -1 ((2x -1) / sqrt3)) + C = #

# = 1 / 3ln | x + 1 | -1 / 6ln | x ^ 2x + 1 | + sqrt3 / 3tan ^ -1 ((2x -1) / sqrt3) + स #

उत तर:

# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x -1) / sqrt3) + स #

स पष ट करण:

#int dx / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 3 + 1) #

=# 1 / 3int (3dx) / (x ^ 2-x + 1) * (x + 1) #

=# 1 / 3int (x ^ 2-x + 1) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #-# 1 / 3int (x ^ 2-x-2) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3int dx / (x + 1) #-# 1 / 3int ((x + 1) (x-2)) / (x ^ 2-x + 1) (x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/3 int (x-2) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-4) / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) + C-1/6 int (2x-1) / (x ^ 2-x + 1) * dx #+# 1/6 int 3 / (x ^ 2-x + 1) * dx #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + स #+# 1/2 int dx / (x ^ 2-x + 1) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + स #+#int (2dx) / (4x ^ 2-4x + 4) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2-x + 1) + स #+#int (2dx) / ((2x-1) ^ 2 + 3) #

=# 1 / 3ln (x + 1) -1 / 6ln (x ^ 2x + 1) + (sqrt3) / 3arctan ((2x -1) / sqrt3) + स #