क य मज द र, उपय ग , गण त य तथ य क य आप ज नत ह क स म न य र प स स क ल म नह पढ य ज त ह ?

उत तर:

"एक सप जर क ट वर" क म ल य कन क स कर, ज स क #2^(2^(2^2))#, और अ त म अ क क स क म करत ह # 2 ^ n, # # NinNN #.

स पष ट करण:

इन "ट वर " क म ल य कन करन क ल ए, हम श र ष पर श र करत ह और अपन तर क स क म करत ह ।

इसल ए:

#2^(2^(2^2))=2^(2^4)=2^16=65,536#

इस तरह क, ल क न थ ड अस ब ध त न ट पर, म झ यह भ पत ह क क स तरह स अ त म अ क क क म करन ह #2# क स भ प र क त क प रत प दक क ल ए उठ य । क अ त म अ क #2# क छ हम श च र म ल य क ब च चक र करन क ल ए उठ य: #2,4,8,6#.

#2^1=2,# #2^2=4,# #2^3=8,# #2^4=16#

#2^5=32,# #2^6=64,# #2^7=128,# #2^8=256#

इसल ए यद आप अ त म अ क ख जन च हत ह # 2 ^ n #, यह पत लग ए क यह क स स थ न पर ह, और आप इसक अ त म अ क ज न ल ग ।

उत तर:

अगर # एन> 0 # तथ #ए# एक सन न कटन ह #sqrt (एन) #, फ र:

# वर ग (एन) = ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + …)))) #)

कह प # ब = एन-ए ^ 2 #

स पष ट करण:

म न ल ज ए हम क स स ख य क वर गम ल ख जन च हत ह # एन> 0 #.

इसक अल व, हम च हत ह क पर ण म क छ ऐस न र तर अ श ह ज प रत य क चरण म द हर त ह ।

प रयत न:

# वर ग (एन) = ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + ब / (२ ए + …)))) #)

# र ग (सफ द) (sqrt (n)) = a + b / (a + a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + b / (2a + …)))) #)

# र ग (सफ द) (sqrt (n)) = a + b / (a + sqrt (n)) #

घट न #ए# द न स र स प र प त करन क ल ए:

#sqrt (एन) -एक = b / (अ + sqrt (एन)) #

द न तरफ स ग ण कर #sqrt (एन) + एक # ल न:

# ब = (sqrt (n) -a) (sqrt (n) + a) = n-a ^ 2 #

त अगर # एक ^ 2 # स थ ड कम ह # उपलब ध नह #, फ र # B # छ ट ह ग और न र तर अ श त ज स पर वर त त ह ग ।

उद हरण क ल ए, यद हम र प स ह # एन = 28 # और च न # एक = 5 #, त हम प र प त करत ह:

# ब = एन-ए ^ 2 = 28-5 ^ 2 = 28-25 = 3 #

इसल ए:

# वर ग (28) = 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3 / (10 + …)))) #)

ज हम सन न कटन द त ह:

# वर ग (28) ~~ 5 + 3/10 = 5.3 #

# वर ग (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3/10) = 545/103 ~~ 5.29126 #

# वर ग (28) ~~ 5 + 3 / (10 + 3 / (10 + 3/10)) = 5609/1060 ~~ 5.2915094 #

एक क लक ल टर म झ बत त ह # वर ग (28) ~~ 5.291502622 #

इसल ए यह व श ष र प स जल द स पर वर त त नह ह रह ह ।

व कल प क र प स, हम ड ल सकत ह # एन = 28 # तथ # एक = 127/24 # ढ ढ न क ल ए:

# ब = एन-ए ^ 2 = 28-127 ^ 2/24 ^ 2 = 28-16129 / 576 = (16128-16129) / 576 = -1 / 576 #

इसल ए:

# वर ग (28) = 127 / 24- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127 / 12- (1/576) / (127/12-…)) #

हम सन न कटन द रह ह:

# वर ग (28) ~~ 127/24 = 5.291bar (6) #

# वर ग (28) ~~ 127 / 24- (1/576) / (127/12) = 32257/6096 ~~ 5.29150262467 #

यह बह त त ज स पर वर त त ह रह ह ।

उत तर:

आप एक प नर वर त पर भ ष त अन क रम क उपय ग करक वर गम ल क ल ए अन म न लग सकत ह ।

स पष ट करण:

#सफ द र ग)()#

प रक र य

एक सक र त मक प र ण क द य # उपलब ध नह # ज एक प र ण वर ग नह ह:

• चल # प = म ज ल (sqrt (n)) # सबस बड धन त मक प र ण क ह ज सक वर ग अध क न ह # उपलब ध नह #.

• चल #q = n-p ^ 2 #

• द व र प र ण क क एक क रम क पर भ ष त कर:

  # {(a_1 = 1), (a_2 = 2p), (a_ (i + 2) = 2pa_ (i + 1) + qa_i "क ल ए" i> = 1):} #

फ र अन क रम क क रम क शब द क ब च क अन प त ह ग # P + sqrt (एन) #

#सफ द र ग)()#

उद हरण

चल # एन = 7 #.

फ र # प = म ज ल (sqrt (7)) = 2 #, जबस #2^2=4 < 7# पर त #3^2 = 9 > 7#.

फ र # q = n-p ^ 2 = 7-2 ^ 2 = 3 #

त हम र क रम श र ह त ह:

#1, 4, 19, 88, 409, 1900, 8827, 41008,…#

स द ध त र प म लग त र शब द क ब च क अन प त ह न च ह ए # 2 + sqrt (7) #

चल द खत ह:

#4/1 = 4#

#19/4 = 4.75#

#88/19 ~~ 4.63#

#409/88 ~~ 4.6477#

#1900/409 ~~ 4.6455#

#8827/1900 ~~ 4.645789#

#41008/8827 ~~ 4.645746#

ध य न द क # 2 + sqrt (7) ~~ 4.645751311 #

#सफ द र ग)()#

यह क म क स प रक र करत ह

म न ल ज ए क हम र प स द ए गए म न द व र पर भ ष त एक अन क रम ह # a_1, a_2 # और एक न यम:

#a_ (n + 2) = 2p a_ (n + 1) + q a_n #

क छ स थ र क क ल ए # प # तथ # क ष #.

सम करण पर व च र कर:

# x ^ 2-2px-q = 0 #

इस सम करण क जड ह:

# x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

# x_2 = p-sqrt (p ^ 2 + q) #

फ र स म न य अवध व ल क ई भ क रम # Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n # हम र द व र न र द ष ट प नर व त त न यम क स त ष ट कर ग ।

अगल हल:

# {(Ax_1 + Bx_2 = a_1), (Ax_1 ^ 2 + Bx_2 ^ 2 = a_2:} # #

क ल य #ए# तथ # ब #.

हम ढ ढ:

# a_1x_2-a_2 = Ax_1 (x_2-x_1) #

# a_1x_1-a_2 = Bx_2 (x_1-x_2) #

और इसल ए:

# एक = (a_1x_2-a_2) / (x_1 (x_2-x_1)) #

# ब = (a_1x_1-a_2) / (x_2 (x_1-x_2)) #

त इन म ल य क स थ # x_1, x_2, A, B # हम र प स ह:

#a_n = Ax_1 ^ n + Bx_2 ^ n #

अगर #q <3p ^ 2 # फ र #abs (x_2) <1 # और क रम क शब द क ब च क अन प त ह ग # x_1 = p + sqrt (p ^ 2 + q) #

उत तर:

म ड य लर व भ जन

स पष ट करण:

म ड य लर ड व जन स र फ उतन ह ह ज तन क व भ जन क छ ड कर उत तर व स तव क म ल य क बज य श ष ह । इसक बज य #-:# प रत क, आप क उपय ग कर #%# प रत क।

उद हरण क ल ए, आमत र पर, यद आप हल करन च हत थ #16-:5# आपक म ल ग #3# श ष #1# य #3.2#। ह ल क, म ड य लर ड व जन क उपय ग करत ह ए, #16%5=1#.

उत तर:

य ग क स थ वर ग क म ल य कन

स पष ट करण:

आम त र पर, आपक वर ग क ज नन च ह ए ज स क #5^2=25#। ह ल क, जब स ख य ए ज स बड ह ज त ह #25^2#, यह आपक स र क श र ष क ज नन क ल ए कठ न ह ज त ह ।

म न महस स क य क थ ड द र क ब द, वर ग व षम स ख य क य ग ह ।

म र मतलब यह ह:

#sum_ (n = 0) ^ k 2n + 1 # कह प # कश म र # ब स व ल य म इनस ह #1#

इसल ए #5^2# क र प म ल ख ज सकत ह:

#sum_ (n = 0) ^ 4 2n + 1 #

वह आपक द ग:

#1+3+5+7+9#

यह, व स तव म, ह #25#.

च क स ख य ए हम श बढ रह ह #2#, म त पहल और आख र न बर क ज ड सकत थ और फ र स ग ण कर सकत थ # K / 2 #.

क ल ए #25^2#

#sum_ (n = 0) ^ 24 2n + 1 = 1 + 3 + … + 49 #

त म बस कर सकत ह #(49+1)(25/2)# और प ओ #25^2# ज ह #625#.

यह व स तव म व य वह र क नह ह, ल क न यह ज नन द लचस प ह ।

#सफ द र ग)()#

ब नस

यह ज नत ह ए:

# n ^ 2 = अध कत (1 + 3 + 5 + … + (2n-1)) ^ "n शर त " = ((1+ (2n-1)) / 2) ^ 2 #

हम वर ग क अ तर क ब र म क छ समस य ओ क हल करन क अन मत द त ह ।

उद हरण क ल ए, सक र त मक प र ण क म सभ सम ध न क य ह # म, एन # क # म ^ 2-एन ^ 2 = 40 # ?

यह ख जन क ल ए कम ह ज त ह क लग त र व षम प र ण क क य ज ड त ह #40#…

# 40 = अध कत (19 + 21) ^ "औसत 20" #

# र ग (सफ द) (40) = (1 + 3 + … + 21) - (1 + 3 + … + 17) #

# र ग (सफ द) (40) = ((1 + 21) / 2) ^ 2 + ((1 + 17) / 2) ^ 2 #

# र ग (सफ द) (40) = 11 ^ 2-9 ^ 2 #

# 40 = ओवरब र स (7 + 9 + 11 + 13) ^ "औसत 10" #

# र ग (सफ द) (40) = (1 + 3 + … + 13) - (1 + 3 + 5) #

# र ग (सफ द) (40) = ((1 + 13) / 2) ^ 2 - ((1 + 5) / 2) ^ 2 #

# र ग (सफ द) (40) = 7 ^ 2-3 ^ 2 #