क य आप म र मदद कर ग ? int_0 ^ (pi / 2) (ई ^ (2x) * sinx) dx

उत तर:

# = (2 ई ^ (प आई) +1) / 5 #

स पष ट करण:

इसक ल ए भ ग द व र एक करण क आवश यकत ह । बह त अ त तक स म ए छ ड द ज ए ग

#int (ई ^ (2x) sinx) dx #

#color (ल ल) (म = Intu (DV) / (DX) dx) = य व INTV (ड) / (ड व) dx #

# य = ई ^ (2x) => ड = 2 ई ^ (2x) dx #

# (DV) / (DX) = sinx => v = -cosx #

#color (ल ल) (आई) = - ई ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

द सर अभ न न अ ग द व र भ क य ज त ह

# य = 2 ई ^ (2x) => ड = 4e ^ (2x) dx #

# (DV) / (DX) = cosx => v = sinx #

#color (ल ल) (आई) = - ई ^ (2x) cosx + 2 ई ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (ल ल) (आई) = - ई ^ (2x) cosx + 2 ई ^ (2x) sinx-4color (ल ल) (आई) #

#:. 5I = ई ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# म = (ई ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

अब इसम स म ए ड ल

#I = (ई ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (ई ^ अन करण य ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (ई ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2 ई ^ (प आई) +1) / 5 #

उत तर:

# {2 ई ^ अन करण य + 1} / 5 #

स पष ट करण:

जबक पहल स प रद न क य गय उत तर एकदम सह ह, म बस थ ड और अध क उन नत द ष ट क ण क उपय ग करक उस उत तर पर पह चन क एक आस न तर क बत न च हत थ - ज क जट ल स ख य ओ क म ध यम स ह ।

हम प रस द ध स ब ध स श र करत ह

# ई ^ {ix} = क स (एक स) + आई प प (एक स) #

कह प # म = sqrt {-1} #, और ध य न द क इसक मतलब ह क

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) क त त पर य e ^ {2x} प प (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

कह प #म ह # क ल पन क भ ग क दर श त ह ।

इसल ए

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} प प (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ म })#

# = Im ({(^ ^ pi -1} / {2 + i} ब र {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + य न ^ pi) (2-i) #

# = 1/5 ((- 1) ब र (-1) + ई ^ प ब र 2) = {2e ^ प + 1} / 5 #