स द ध ह क घटत x = y ^ 2 और xy = k समक ण पर क टत ह यद 8k ^ 2 = 1?

उत तर:

#-1#

स पष ट करण:

# 8k ^ 2 = 1 #

# k ^ 2 = 1/8 #

#k = sqrt (1/8) #

#x = y ^ 2 #, #xy = sqrt (1/8) #

द घटत ह

#x = y ^ 2 #

तथ

#x = sqrt (1/8) / y य x = sqrt (1/8) y ^ -1 #

वक र क ल ए #x = y ^ 2 #सम म न क स थ व य त पन न # Y # ह # 2y #.

वक र क ल ए #x = sqrt (1/8) y ^ -1 #सम म न क स थ व य त पन न # Y # ह # -Sqrt (1/8) y ^ -2 #.

वह ब द ज स पर द घटत म लत ह # y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 2 = (sqrt (1/8)) / y #.

# y ^ 3 = sqrt (1/8) #

# आपक = sqrt (1/2) #

जबस #x = y ^ 2 #, #x = 1/2 #

ज स ब द पर वक र म लत ह # (1/2, sqrt (1/2)) #

कब # आपक = sqrt (1/2) #, # 2y = 2sqrt (1/2) #.

वक र क स पर शर ख क ढ ल #x = y ^ 2 # ह # 2 वर ग (1/2), य 2 / (sqrt2) #.

कब # आपक = sqrt (1/2) #, # -Sqrt (1/8) y ^ -2 = -2 वर ग (1/8) #.

वक र क स पर शर ख क ढ ल #xy = sqrt (1/8) # ह # -2 वर ग (1/8), य -2 / (sqrt8) #.

# (2 / sqrt2) * -2 / (sqrt * 8) = -4 / (sqrt16) = -4/4 = # #

हम एक शर त च हत ह # कश म र # ऐस ह क घटत ह # एक स = y ^ 2 # तथ # Xy = K # "समक ण पर क ट "। गण त य र प स इसक मतलब ह क वक र क ऑर थ ग नल ह न च ह ए, ज सक अर थ ह क सभ ब द ओ पर वक र पर स पर शर ख ए क ई भ द ए गए ब द ल बवत ह ।

यद हम व भ न न म ल य क ल ए घटत क पर व र क ज च करत ह # कश म र # हम म ल:

हम त र त ध य न द त ह क हम एक एकल ब द क तल श कर रह ह जह स पर शर ख ल बवत ह त ह, इसल ए स म न य र प स सभ ब द ओ पर वक रत ओर थ ग नल नह ह त ह ।

पहल हम ख जन द एक समन वय, # प #च र ह क ब द पर, ज एक स थ सम ध न ह:

# {(y ^ 2 = x, …… A), (xy = k, …… B):} #

Eq A क पद र थ बन न म B हम प र प त ह त ह:

# (y ^ 2) y = k => y ^ 3 = k => y = जड (3) (k) #

और इसल ए हम प रत च छ दन समन वय स थ प त करत ह:

# P (k ^ (2/3), k ^ (1/3)) #

हम इस समन वय पर स पर शर ख क ग र ड ए ट क भ आवश यकत ह । पहल वक र क ल ए:

# y ^ 2 = x => 2y ड ई / dx = 1 #

त स पर शर ख क ढ ल, # M_1 #, पहल वक र पर # प # ह:

# (2k ^ (1/3)) m_1 = 1 => m_1 = 1 / (2k ^ (1/3)) = 1 / 2k ^ (- 1/3) #

इस तरह, द सर वक र क ल ए:

# xy = k => y = k / x => ड ई / dx = -k / x ^ 2 #

त स पर शर ख क ढ ल, # M_2 #, द सर वक र पर # प # ह:

# m_2 = -k / (k ^ (2/3)) ^ 2 #

# _ _ _ -k ^ (- 1/3) #

यद य द न स पर शर ख ए ल बवत ह त हम इसक आवश यकत ह:

# m_1m_2 = -1 #

#:। (1 / 2k ^ (- 1/3)) (-क ^ (- 1/3)) = -1 #

#:। k ^ (- 2/3) = 2 #

#:। (k ^ (- 2/3)) ^ (3/2) = 2 ^ (3/2) #

#:। k ^ (- 1) = 2 ^ (3/2) #

#:। (1 / k) ^ 2 = 2 ^ 3 #

#:। 1 / k ^ 2 = 8 #

द ए गए पर ण म क ल ए अग रण:

# 8k ^ 2 = 1 # QED

और इस म ल य क स थ # कश म र #