स ब त कर क फ क शन x_0 = 0 म स म त नह ह ? + उद हरण

उत तर:

स पष ट करण द ख ।

स पष ट करण:

एक सम र ह स म क ह इन क पर भ ष क अन स र हम र प स:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

त यह द ख न क ल ए क एक फ क शन ह नह क स म # X_0 # हम द क रम ख जन ह ग # {X_n} # तथ # {ब र (एक स) _n} # ऐस ह क

#lim_ {n -> + ऊ} x_n = lim_ {n -> + ऊ} ब र (एक स) _n = x_0 #

तथ

#lim_ {n -> + ऊ} च (x_n) = lim_ {n -> + ऊ}! च (ब र (एक स) _n) #

द ए गए उद हरण म ऐस क रम ह सकत ह:

# X_n = 1 / (2 ^ n) # तथ #bar (एक स) _n = 1 / (3 ^ n) #

द न क रम म अभ सरण ह त ह # X_0 = 0 #, ल क न सम र ह क स त र क अन स र हम र प स ह:

# आलम _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

क य क सभ तत व म # X_n # म ह #1,1/2,1/4,…#

और क सक ल ए #bar (एक स) _n # हम र प स ह:

#F (ब र (एक स) _1) = च (1) = 2 #

ल क न सभ क ल ए #N> = 2 # हम र प स ह: #F (ब र (एक स) _n) = 1 #

क ल ए #N -> + ऊ # हम र प स ह:

#lim_ {n -> + ऊ} च (ब र (एक स) _n) = 1 # (**)

द न स क व स कवर करत ह # X_0 = 0 #, ल क न स म ए (*) और (**) ह नह बर बर ह, इसल ए स म #lim_ {x-> 0} f (x) # अस त त व म नह ह .

QED

स म पर भ ष व क प ड य पर http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function पर द ख ज सकत ह

उत तर:

यह एक स म क अस त त व क पर भ ष क न ष ध क उपय ग करत ह ए एक प रम ण ह ।

स पष ट करण:

लघ स स करण

#F (एक स) # एक भ न बर पर स पर क नह कर सकत # एल # क य क क स भ पड स म #0#, क र यक रम # च # उन म ल य क ल त ह ज एक द सर स भ न न ह त ह #1#.

त क ई फर क नह पड त क क स क ल ए क य प रस त व ह # एल #, अ क ह #एक स# प स म #0#, कह प #F (एक स) # कम स कम ह #1/2# स द र इक ई # एल #

द र घ स स करण

#lim_ (xrarr0) f (x) # म ज द ह त स र फ और स र फ अगर

एक न बर ह, # एल # ऐस सभ क ल ए # प प ल न> 0 #, वह एक ह # ड ल ट > 0 # ऐस सभ क ल ए #एक स#, # 1 <abs (x) <ड ल ट # क त त पर य # ल ब स (f (x) -L) <एप स ल न #

इस क उप क ष ह:

#lim_ (xrarr0) f (x) # यद और क वल अगर म ज द नह ह

हर न बर क ल ए, # एल # वह पर एक # प प ल न> 0 #, ऐस सभ क ल ए # ड ल ट > 0 # वह पर एक #एक स#, ऐस ह क # 1 <abs (x) <ड ल ट # तथ # ल ब स (f (x) -L)> = एप स ल न #

एक स ख य द # एल #, म करन द ग # प प ल न = 1/2 # (क ई भ छ ट # एप स ल न # स थ ह क म कर ग)

अब एक सक र त मक द य # ड ल ट #, म झ द ख न ह ग क वह एक ह #एक स# स थ म # 1 <absx <ड ल ट # तथ # ल ब स (f (x) -L)> = 1/2 # (य द कर क # प प ल न = 1/2 #)

एक सक र त मक द य # ड ल ट #, अ तत # 1/2 ^ n <ड ल ट # त वह एक ह # X_1 # स थ म #f (x_1) = 2 #.

एक तत व भ ह आरआर म # x_2- {1, 1/2, 1/4,। । । } # स थ म # 1 <x_2 <ड ल ट # तथ #f (x_2) = 1 #

अगर # एल <= (1/2) #, फ र # ल ब स (f (x_1) -L)> = 1/2 #

अगर # एल> = (1/2) #, फ र # ल ब स (f (x_2) -L)> = 1/2 #