उत तर:
# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2 एक स ^ 2 + c #
स पष ट करण:
# "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #
वर ग क प र कर, # "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #
व कल प # य = एक स-5 #, # "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #
व कल प # य = 5sin (v) # तथ # ड = 5cos (v) #
#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" DV #
सरल बन ए, # "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" DV #
पर ष क त, # "" 25cos ^ 2 (v) "" DV #
न र तर ब हर न क ल, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" DV #
डबल ए गल फ र म ल ल ग कर, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" DV #
न र तर ब हर न क ल, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" DV #
एक क त, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2 व)) "+ स #
प छ हटन # V = arcsin (य / 5) # तथ # य = एक स-5 #
# 25/2 (arcsin ((एक स 5) / 5) + रद द (1 / 2sin) (2arcsin रद द () ((एक स 5) / 5))) "+ स #
सरल बन ए, # 25/2 (arcsin ((एक स-5) / 5)) + 25/2 ((एक स 5) / 5) + स #
पर ष क त, # 25 / 2arcsin ((एक स-5) / 5) +5/2 (एक स 5) + स #, कह प #स # एक करण क न र तरत ह ।
ट ड: ड
उत तर:
# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #
स पष ट करण:
क य ह #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?
ध य न द क फ क शन क ड म न एक क त क य ज रह ह, जह आ तर क द व घ त सक र त मक ह, अर थ त #x म 0, 10 #
यह अभ व यक त प रत स थ पन क उपय ग करक एक क त क य ज सकत ह । यद यप एक करण क ल ए एक स भ व त म र ग त र त म ज द नह ह, अगर हम वर ग क म क बल करत ह, त एक त र क णम त य प रत स थ पन क य ज सकत ह:
# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #
ज, हम द खत ह, क ल स क त र क णम त य प रत स थ पन र प म ह, अर थ त एक स ख य क वर ग एक र ख क क वर ग ऋण ह । #एक स# सम र ह।
सबस पहल, र ख क स छ टक र प न क ल ए, हम करत ह #u = x-5 #, ज द त ह # ड = dx #, इसल ए हम उपर क त अभ न न क फ र स ल ख सकत ह:
#int sqrt (25-u ^ 2) du #
अब द सर प रत स थ पन क ल ए, चल #u = 5sintheta #, ज करन क ल ए अभ न न पर वर तन:
#int sqrt (25 - 25 वर ग म टर 2 इ च) dx #
# = int abs (5costheta) dx # (हम न रप क ष म ल य क ष ठक क उप क ष कर सकत ह)
ब शक, # Dx # मदद नह कर रह ह, इसल ए हम प र प त करन क ल ए प रत स थ पन सम करण क अलग करत ह: #du = 5 क स ट हट d थ ट #, त अभ न न बन ज त ह:
# 25 int cos ^ 2 थ ट d थ ट #
अब हम एक क त करन क ल ए एक डबल क ण स त र क उपय ग कर सकत ह # cos ^ 2 थ ट # आस न:
#cos (2 थ ट) = 2cos ^ 2theta -1 #
#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #
त अभ न न बन ज त ह:
# 25/2 int cos (2theta) + 1 d थ ट #
# = 25/2 (1 / 2s (2 थ ट) + थ ट) + c #
# = 25/2 (sinthetacostheta + थ ट) + c # (द हर क ण स त र क उपय ग करक)
अभ व, # स न थ ट ट = य / ५ = (एक स -5) / ५ #
इसल य, #cos थ ट = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #
तथ, # ट ट = आर क स न (य / 5) = आर स क न ((एक स -5) / 5) #
#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #
# = 25/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + आर क स न ((x-5) / 5)) + c #
# = 1/2 (((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #
