एक अ तरव र ध और एक अभ न न क ब च अ तर क य ह ?

क ई मतभ द नह ह, द शब द पर य यव च ह ।

यह क छ ब त पर न र भर करत ह । क न स व र ध, स म न य य व श ष? क न स अभ न न न श च त य अन श च त? और, हम क सस प छ रह ह ?

स म न य अ तर व र ध और अन श च तक ल न अभ न न:

कई गण तज ञ अन श च त अभ न न और स म न य व र ध क अ तर नह करत ह । फ क शन क ल ए य त म मल म # च # उत तर ह #F (x) + स # कह प #F '(x) = f (x) #..

क छ (उद हरण क ल ए, प ठ यप स तक ल खक ज म स स ट वर ट) एक अ तर बन त ह । स ट वर ट क "सबस स म न य" क व र ध क र प म स दर भ त क य ज त ह # च #क प रत य क अ तर पर व भ न न स थ र क म नत ह # च #। उद हरण क ल ए, वह इसक उत तर द ग क सबस स म न य र गव र ध # 1 / एक स ^ 2 # एक ट कड पर भ ष त सम र ह ह:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # क ल य #x <0 # तथ # (- 1) / x + C_2 # क ल य #x> 0 #.

क अन श च तक ल न अभ न न # च #, इस उपच र म, क छ अ तर ल पर हम श एक र गर ध ह त ह # च # न र तर ह ।

इसल ए # 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, जह यह समझ ज त ह क ड म न प ज ट व र यल क क छ सबस ट य न ग ट व र यल म स एक सबस ट तक ह स म त ह ।

व श ष र प स अ त व षय

क एक व श ष व र ध # च # एक सम र ह ह # एफ # (क र य क एक पर व र क बज य) ज सक ल ए #F '(x) = f (x) #.

उद हरण क ल ए:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # क ल य #x <0 # तथ # (- 1) / x + 1 # क ल य #x> 0 #.

क एक व श ष र प स म रक ह #F (x) = 1 / एक स 2 ^ #

तथ:

#G (x) = (- 1) 3 एक स / # क ल य #x <0 # तथ # (- 1) / एक स + 6 # क ल य #x> 0 #.

क एक अलग व श ष र प स म रक ह #F (x) = 1 / एक स 2 ^ #.

न श च त अभ न न

क न श च त अभ न न # च # स #ए# स व म र # B # क ई फ क शन नह ह । यह एक स ख य ह ।

उद हरण क ल ए:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(म मल क और अध क जट ल बन न क ल ए, यह न श च त अभ न न प य ज सकत ह, गणन क म ल क स द ध त क उपय ग कर, भ ग 2, / अन श च त अन श च त / स म न य प रत पक ष क पहल ख जकर, फ र क छ करक ।

आपक प रश न इस ब त स स ब ध त ह क आइज क न य टन और ग टफ र इड ल ब एज द व र क लक लस क व क स म व स तव म "प रम ख अ तर द ष ट " क य थ ।

उन क र य पर ध य न क द र त करन ज कभ भ नक र त मक नह ह त ह, इस अ तर द ष ट क इस तरह स व यक त क य ज सकत ह: "ए ट ड र इवर स स क उपय ग क य ज सकत ह ख ज क ष त र (इ ट ग रल स) और क ष त र (इ ट ग रल स) क उपय ग क य ज सकत ह पर भ ष त antideratives "यह क लक लस क म ल क स द ध त क स र ह ।

र म न स म स क ब र म च त क ए ब न (आख रक र, बर नह र ड र म न न य टन और ल इबन ज क लगभग 200 स ल ब द भ ज व त थ) और एक न र तर ग र-नक र त मक क र य क ल ए एक सहज (अपर भ ष त) अवध रण क र प म क ष त र क ध रण क ल य । #f (x) geq 0 # सबक ल ए #एक स# स थ म #a leq x leq b #, बस न श च त अभ न न प रत क क ब र म स च # #__ {a} ^ {b} f (x) dx # क ग र फ क तहत क ष त र क प रत न ध त व करन क र प म # च # और ऊपर #एक स#क ब च म # X = एक # तथ # एक स = ख #। यद एक और क र य # एफ # ऐस प य ज सकत ह #F '(x) = f (x) # सबक ल ए #a leq x leq b #, फ र # एफ # क म रक क षमत कहल त ह # च # अ तर ल पर # क, ख # और अ तर #F (ख) एफ (क) # न श च त अभ न न क म ल य क बर बर ह । अर थ त, # #__ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #। यह तथ य इसक ल ए उपय ग ह ख ज एक न श च त अभ न न (क ष त र) क म ल य जब एक र गव र ध क ल ए एक स त र म ल सकत ह ।

इसक व पर त, अगर हम अभ न न प रत क क ऊपर स म क एक चर बन त ह, त इस क ल कर # ट #, और एक फ क शन क पर भ ष त करत ह # एफ # स त र द व र #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (इसल ए #F (ट) # व स तव म क ग र फ क तहत क ष त र ह # च # क ब च # X = एक # तथ # एक स = ट #ग रहण करन #a leq t leq b #), फ र यह नय क र य # एफ # अच छ तरह स पर भ ष त, भ न न, और ह #F '(ट) = च (ट) # सभ न बर क ल ए # ट # क ब च #ए# तथ # B #। हमन एक अभ न न क उपय ग क य ह पर भ ष त क एक व र ध # च #। यह तथ य एक ऐस व यक त व र ध म ल य क सन न कटन क ल ए उपय ग ह जब इसक ल ए क ई स त र नह प य ज सकत ह (स म पसन क न यम ज स स ख य त मक एक करण व ध य क उपय ग करक)। उद हरण क ल ए, यह सभ समय स ख य क व द द व र उपय ग क य ज त ह जब स म न य वक र क तहत क ष त र क सन न कटन क य ज त ह । म नक न र मल कर व क एक व श ष ए ट व यर व क म न अक सर स ख य क प स तक म एक त ल क म द ए गए ह ।

म मल म जह # च # नक र त मक म न ह, न श च त हस त क षर "हस त क षर त क ष त र " क स दर भ म स च ज न च ह ए।