X ^ n क व य त पन न क य ह ?

सम र ह क ल ए #F (x) = x ^ n #, एन च ह ए नह सम न 0, उन क रण क ल ए ज स पष ट ह ज ए ग । n एक प र ण क य एक पर म य स ख य (य न एक अ श) भ ह न च ह ए।

न यम ह:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

द सर शब द म, हम x क शक त क "उध र ल त ह " और इस व य त पन न क ग ण क बन त ह, और फ र 1 क शक त स घट त ह ।

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

ज स क म न उल ल ख क य ह, व श ष म मल जह n = 0 ह । इस क मतलब ह क

#F (x) = x ^ 0 = 1 #

हम अपन न यम और तकन क र प स सह उत तर प र प त कर:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

ह ल क, ब द म ट र क क न च आन पर, हम इस न यम क उलट प रय ग क प रय स करन पर जट लत ओ म द ड ग ।

उत तर:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

न च हर स ख य क प रम ण द ए गए ह, ल क न सभ प र ण क क ल ए क वल प रम ण ह व य त पत त क पर भ ष क म ल क शल क उपय ग करत ह । सभ तर कस गत क ल ए प रम ण श र खल न यम क उपय ग करत ह और तर कह न क ल ए अ तर न ह त भ दभ व क उपय ग करत ह ।

स पष ट करण:

कह ज रह ह, म उन ह यह सब द ख ऊ ग, त क आप इस प रक र य क समझ सक । खबरद र क यह #मर ज # क फ ल ब ह ।

स # आपक = x ^ (n) #, अगर # एन = 0 # हम र प स ह # आपक = 1 # और एक स थ र क क व य त पन न अल स व स श न य ह ।

अगर # उपलब ध नह # क स भ अन य सक र त मक प र ण क ह हम इस व य त पन न स त र म फ क सकत ह और ग दग क हल करन क ल ए द व पद प रम य क उपय ग कर सकत ह ।

# आपक = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + स ग म _ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

कह प # K_i # उपय क त स थ र क ह

# आपक = lim_ (h rarr 0) स ग म _ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

व भ ज त ह क # ज #

#y = lim_ (h rarr 0) स ग म _ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

हम य ग स पहल शब द न क ल सकत ह

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + स ग म _ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

स म ल त ह ए, र श म अभ भ सब क छ श न य ह ज त ह । ग न ज रह ह # K_1 # हम द खत ह क यह बर बर ह # उपलब ध नह #, इसल ए

# आपक = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

क ल य # उपलब ध नह # यह नक र त मक प र ण क ह यह थ ड अध क जट ल ह । यह ज नत ह ए # x ^ -n = 1 / x ^ b #, ऐस ह क # ब = -एन # और इसल ए सक र त मक ह ।

# आपक = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x + b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - स ग म _ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

# आपक = lim_ (h rarr 0) (((Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b) #)

पहल क र यक ल न क ल ए

#y = lim_ (h rarr 0) (- (K_1x ^ (b-1) - स ग म _ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x h h)) ^ ख)) #

स म ल, कह # K_1 = b #, उस पर व पस ज रह ह # उपलब ध नह #

# आपक = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

तर कस गत क ल ए हम श र खल न यम क उपय ग करन क आवश यकत ह । अर थ त।: # # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

त, यह ज नकर # x ^ (1 / n) = र ट (n) (x) # और म न रह ह # एन = 1 / ब # हम र प स ह

# (x ^ n) ^ b = x #

अगर # B # यह तक क, उत तर तकन क र प स ह # | X | # ल क न यह हम र उद द श य क ल ए पर य प त ह

इसल ए, हम र प स श र खल न यम क उपय ग करन

# # x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

और अ त म ल क न कम स कम नह, अ तर न ह त व भ द करण क उपय ग करक हम सभ व स तव क स ख य ओ क ल ए स ब त कर सकत ह, ज सम तर कह न भ श म ल ह ।

# आपक = x ^ n #

# एलएन (व ई) = एन * एलएन (एक स) #

# आपक ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #