क पय मदद क ज ए। म झ यक न नह ह क यह सब ब हर ग ण क ए ब न इस जल द स क स करन ह ?

उत तर:

क उत तर ह (म) ह #240#.

क उत तर ह (Ii) ह #200#.

स पष ट करण:

हम न च द ख ए गए प स कल क त र भ ज क उपय ग करक ऐस कर सकत ह ।

(म)

च क घ त क ह #6#, हम त र क ण म छठ प क त क उपय ग करन क आवश यकत ह, ज सम श म ल ह # र ग (ब गन) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # तथ #color (ब गन) 1 #। असल म, हम उपय ग कर ग #color (न ल) 1 # पहल क र यक ल और #color (ल ल) (2x) # द सर क र प म । फ र, हम न म नल ख त सम करण बन सकत ह । पहल पद क घ त क बढ त ह #1# हर ब र और द सर क र यक ल क प रत प दक कम ह ज त ह #1# त र क ण स प रत य क शब द क स थ।

# (र ग (ब गन) 1 * र ग (न ल) (1 ^ 0) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 6)) + (र ग (ब गन) 6 * र ग (न ल) (1 ^ 1) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 5)) + (र ग (ब गन) 15 * र ग (न ल) (1 ^ 2) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 4)) + (र ग (ब गन) 20 * र ग (न ल) (1 ^ 3) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 3)) + (र ग (ब गन) 15 * र ग (न ल) (1 ^ 4) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 2)) + (र ग (ब गन) 6 * र ग (न ल) (1 ^ 5) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 1)) + (र ग (ब गन) 1 * र ग (न ल) (1 ^ 6) * र ग (ल ल) ((2x) ^ 0)) #

फ र, हम इस सरल कर सकत ह ।

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

इसल ए, क ग ण क # X ^ 4 # ह #240#.

(Ii)

हम पहल स ह इसक व स त र ज नत ह # (1 + 2x) ^ 6 #। अब, हम द अभ व यक त य क एक स थ ग ण कर सकत ह ।

#color (भ र) (1-एक स (1/4)) * र ग (न र ग) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x +1) #

क ग ण क #एक स# म # 1-x (1/4) # ह #1#। इसल ए, हम ज नत ह क यह अन य अभ व यक त म प रत प दक क म ल य क बढ एग #1#। क य क हम ग ण क क जर रत ह # X ^ 4 #, हम स र फ ग ण करन क जर रत ह # 160x ^ 3 # द व र # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

अब, हम इस ज ड न क आवश यकत ह # 240x ^ 4 #। यह सम ध न क एक ह स स ह # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #द व र ग ण करन क क रण #1#। यह महत वप र ण ह क य क इसक एक प रत प दक भ ह #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #

इसल ए, ग ण क ह #200#.

उत तर:

म । # 240x ^ 4 #

ii। # 200x ^ 4 #

स पष ट करण:

क ल ए द व पद व स त र # (क + bx) ^ ग # क र प म प रत न ध त व क य ज सकत ह:

#sum_ (n = 0) ^ ग (ग!) / (एन! (ग-एन)!) एक ^ (ग-एन) (bx) ^ n #

भ ग 1 क ल ए हम क वल तब च ह ए जब # एन = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

भ ग 2 क ल ए, हम भ च ह ए # X ^ 3 # क वजह स क र यक ल # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200x ^ 4 #