उत तर:
#z in {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #
स पष ट करण:
इस समस य क ल ए, हम यह ज नन ह ग क क स ख ज # उपलब ध नह ^ "व " # एक जट ल स ख य क जड । ऐस करन क ल ए, हम पहच न क उपय ग कर ग
# ई ^ (इत त) = क स (थ ट) + आइस न (थ ट) #
इस पहच न क क रण, हम क स भ जट ल स ख य क प रत न ध त व कर सकत ह
# a + bi = Re ^ (itheta) # कह प #R = sqrt (ए ^ 2 + ब ^ 2) # तथ # ट ट = आर कट क (ब / ए) #
अब हम ख जन क ल ए कदम पर ज ए ग # 3 ^ "व " # एक जट ल स ख य क जड # एक + द व #। ख जन क ल ए कदम # उपलब ध नह ^ "व " # जड सम न ह ।
द य ह आ # a + bi = Re ^ (itheta) # हम सभ जट ल स ख य ओ क तल श कर रह ह # Z # ऐस ह क
# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #
ज स # Z # एक जट ल स ख य ह, वह म ज द ह # R_0 # तथ # Theta_0 # ऐस ह क
#z = R_0e ^ (itheta_0) #
फ र
# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #
इसस, हम र प स त र त ह # R_0 = R ^ (1/3) #। हम क प रत प दक क भ बर बर कर सकत ह # ई #, ल क न यह द खत ह ए क स इन और क ज न अवध क स थ आवध क ह # 2pi #, तब म ल पहच न स, # ई ^ (itheta) # स थ ह ह ग । त हम र प स ह
# 3ithe_0 = i (थ ट + 2pik) # कह प # ZZ म #
# => थ ट _0 = (थ ट + 2pik) / 3 # कह प # ZZ म #
ह ल क, ज स हम ज ड त रहत ह # 2pi # ब र-ब र, हम सम न म ल य क स थ सम प त ह ज ए ग, हम प रत ब ध क ज ड कर न रर थक म ल य क उप क ष कर सकत ह # थ ट _0 म 0, 2pi) #, अर थ त, # म {0, 1, 2} #
यह सब एक स थ रखकर, हम सम ध न स ट म लत ह
#z in {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((थ ट + 2pi)) / 3), आर ^ (1/3) e ^ (i (थ ट + 4pi) / 3)} #
हम इस व पस बदल सकत ह # एक + द व # पहच न क उपय ग करत ह ए यद व छ त ह
# ई ^ (इत त) = क स (थ ट) + आइस न (थ ट) #
उपर क त समस य क ह थ म ल कर ल ग करन:
# (z-1) ^ 3 = 8i #
# => z-1 = 2i ^ (1/3) #
# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #
उपर क त प रक र य क उपय ग करक, हम प सकत ह # 3 ^ "व " # क जड #म #:
# आई = ई ^ (आईप आई / २) => आई ^ (१/३) इन {ई ^ (आईप आई / ६), ई ^ (आई (५ प) / ६), ई ^ (आई (३ प) / २) } #
क ल ग करन # ई ^ (इत त) = क स (थ ट) + आइस न (थ ट) # हम र प स ह
# म ^ (1/3) {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #
अ त म, हम इन म ल य क ल ए स थ न पन न ह #z = 2i ^ (1/3) + 1 #
#z in {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #
# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #
