Z1 + z2 = z1 + z2 अगर और क वल अगर arg (z1) = arg (z2), जह z1 और z2 जट ल स ख य ह । क स ? क पय समझ ए !

उत तर:

क पय द ख व च र-व मर श म स पष ट करण।

स पष ट करण:

चल, # | Z_j | = r_j; r_j gt 0 और arg (z_j) = theta_j in -pi, pi; (j = 1,2)। #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2। #

स पष ट र प स, # (Z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2), #

# = (R_1costheta_1 + r_2costheta_2) + म (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2)। #

य द कर क, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2) ^ 2, #

# = R_1 ^ 2 (क य क ^ 2theta_1 + प प ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (क य क ^ 2theta_2 + प प ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2), #

# = R_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2), #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (स ट र ^ 1) #.

# "अब यह द खत ह ए," | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 | | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, i.e।, # |.

#। (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (त र ^ 2)। #

स # (त र ^ 1) और (त र ^ 2) # हम म ल, # 2r_1r_2cos (थ ट _1-थ ट _2) = r_1r_2। #

"# रद द करन " r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0 #।

#:. (theta_1-theta_2) = 2 kpi + -0, k in ZZ।

# "ल क न," theta_1, theta_2 in (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0, य, #

# theta_1 = theta_2, "द," arg (z_1) = arg (z_2), # ज स च ह ह !

इस प रक र, हमन द ख य ह क, # | Z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2)। #

उलट इस तरह क तर ज पर स ब त क य ज सकत ह ।

गण त क आन द ल ।