श र खल क अभ सरण य व चलन क न र ध रण करन क ल ए आप इ ट ग रल ट स ट क उपय ग क स करत ह : n = 1 स n = 1 स अन त तक य ग?

उत तर:

अभ न न ल ल # Int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, ज पर म त ह, और ध य न द क यह स म ह #s__ (n = 2) ^ o n n ^ (- n) #। इसल ए यह अभ सरण ह, इसल ए #s__ (n = 1) ^ o n n ^ (- n) # स थ ह ह ।

स पष ट करण:

अभ न न पर क षण क औपच र क कथन बत त ह क यद #fin 0, ऊ) rightarrowRR # एक म न ट न घटत क र य ज ग र-नक र त मक ह । फ र य ग #sum_ (n = 0) ^ द लत (एन) # अभ सरण ह अगर और क वल अगर # "Sup" _ (एन> 0) int_0 ^ पल उ (x) dx # पर म त ह । (त ऊ, ट र स। व श ल षण I, द सर स स करण। ह द स त न ब क एज स । 2009)।

यह कथन थ ड तकन क लग सकत ह, ल क न व च र न म नल ख त ह । इस म मल म क र य करन #F (x) = XE ^ (- x) #, हम ध य न द क #x> 1 #, यह क र य घट रह ह । हम इस व य त पन न ल कर द ख सकत ह । #F '(x) = ई ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-एक स) ई ^ (- x) <0 #, जबस #x> 1 #, इसल ए # (1-x) <0 # तथ #E ^ (- एक स)> 0 #.

इसक क रण, हम ध य न द क क स भ क ल ए #ninNN _ (> = 2) # तथ #x म 1, ऊ) # ऐस ह क #x <= n # हम र प स ह #F (एक स)> = च (एन) #। इसल य #int_ (n-1) ^ एनएफ (x) dx> = int_ (n-1) ^ एनएफ (एन) dx = च (एन) #, इसल ए #sum_ (n = 1) ^ पल उ (एन) <= च (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ एनएफ (x) dx = च (1) + int_1 ^ पल उ (एक स) dx #.

# Int_1 ^ द लत (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - XE ^ (- x) | _1 ^ ऊ + int_1 ^ ooe ^ (-x) dx ## = - XE ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / ई # भ ग और क द व र एक करण क उपय ग करन #lim_ (xrightarrowoo) ई ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) XE ^ -x = 0 #.

जबस #F (एक स)> = 0 #, हम र प स ह # ई / 2 = int_1 ^ द लत (x) dx> = int_1 ^ पल उ (x) dx #, इसल ए #sum_ (n = 1) ^ पल उ (एन) <= च (1) + 2 / ई = 3 / ई #। जबस #F (एन)> = 0 #, श र खल #sum_ (n = 1) ^ पल उ (एन) # क र प म बढ त ह # N # बढ त ह । च क यह ब ध य ह # 3 / ई #, यह अभ सरण ह न च ह ए। इसल य #sum_ (n = 1) ^ द लत (एन) # ज ड द त ह ।