क य म व य त पन न ह ? + उद हरण

आप इल ज कर सकत ह #म # ज स क ई स थ र #स #। त व य त पन न #म # ह न व ल #0#.

ह ल क, जट ल स ख य ओ क स थ क म करत समय, हम इस ब त स स वध न रहन च ह ए क हम क र य, ड र व ट व स और इ ट ग रल स क ब र म क य कह सकत ह ।

एक फ क शन ल #F (z) #, कह प # Z # एक जट ल स ख य ह (ज ह, # च # एक जट ल ड म न ह)। फ र व य त पन न # च # व स तव क म मल क सम न तर क स पर भ ष त क य गय ह:

# f ^ प र इम (z) = lim_ (h स 0) (f (z + h) -f (z)) / (h #)

कह प # ज # अब एक जट ल स ख य ह । जट ल स ख य ओ क र प म द खन क ब र म स च ज सकत ह क एक व म न म झ ठ ब लन, ज स जट ल व म न कह ज त ह, हम र प स ह क इस स म क पर ण म इस ब त पर न र भर करत ह क हमन क स च न ? # ज # क ल ए ज ओ #0# (वह यह ह क हमन ऐस क स र स त स क य ह)।

एक स थ र क क म मल म #स #, यह द खन आस न ह क यह व य त पन न ह #0# (प रम ण व स तव क म मल क अन र प ह)।

उद हरण क त र पर ल ज ए # च # ह न क ल ए #f (z) = ब र (z) #, अर थ त, # च # एक जट ल स ख य ल त ह # Z # यह स य ग म ह #bar (z) #.

फ र, व य त पन न # च # ह

# f ^ प र इम (z) = lim_ (h स 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) = lim_ (h स 0) (bar (z + h) -bar (z)) / (एच) = ल म_ (एच स ०) (ब र (एच) + ब र (ज ड) -ब र (ज ड)) / (एच) = ल म_ (एच स ०) (ब र (एच)) / (एच) #

बन न पर व च र कर # ज # क ल ए ज ओ #0# क वल व स तव क स ख य ओ क उपय ग करन । च क एक व स तव क स ख य क जट ल स य ग म स वय ह, हम र प स ह:

# f ^ प र इम (z) = lim_ (h स 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h स 0) h / h = = lim_ (h स 0) 1 = 1 #

अब, बन त ह # ज # क ल ए ज ओ #0# क वल श द ध क ल पन क स ख य ओ (फ र म क स ख य) क उपय ग करन # ऐ #)। एक श द ध क ल पन क स ख य क स य ग म क ब द स # डब ल य # ह # डब ल य #, हम र प स ह:

# f ^ प र इम (z) = lim_ (h स 0) (bar (h)) / (h) = = lim_ (h स 0) -h / h = lim_ (h स 0) -1 = -1 #

और इस ल ए #f (z) = ब र (z) # क ई व य त पन न नह ह ।