उत तर:
ज स क न च ट प पण म उल ल ख क य गय ह, यह क ल ए MacLaurin श र खल ह #f (x) = cos (x) #, और हम ज नत ह क यह अभ सरण करत ह # (- ऊ, ऊ) #। ह ल क, यद आप इस प रक र य क द खन च हत ह:
स पष ट करण:
च क हम र प स भ जक म एक भ ज य ह, इसल ए हम इसक उपय ग करत ह अन प त पर क षण, क य क इसस सरल करण थ ड आस न ह ज त ह । यह स त र ह:
#lim_ (n-> ऊ) (a_ (n + 1) / a_n) #
यद यह <1 ह, त आपक श र खल पर वर त त ह ज त ह
यद यह> 1 ह, त आपक श र खल व चलन करत ह
यद यह = 1 ह, त आपक पर क षण अन र ण यक ह
त, चल यह करत ह:
#lim_ (k-> ऊ) प ट ((- 1) ^ (k + 1) (एक स ^ (2k + 2) / ((2k + 2))) * (- 1) ^ कश म र ((2k)!) / (x ^ (2k)) #
न ट: आप अपन (k + 1) म क स प लग इन करत ह, इस ब र म बह त स वध न रह । 2k 2 म बदल ज एग (k + 1), 2k + 1 नह ।
म क प रस पर क द व र ग ण क य ज त ह # X ^ (2k) / ((2k)!) # क वल क म क थ ड आस न बन न क ल ए व भ ज त करन क बज य।
अब, ब जगण त चल । प र ण म ल य क क रण, हम र व कल प क शब द (अर थ त। # (- 1) ^ कश म र #) अभ रद द करन ज रह ह, क य क हम र प स हम श एक सक र त मक जव ब ह ग:
# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / (((2 + 2)!)) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #
हम अपन क रद द कर सकत ह # X ^ (2k) #क:
# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #
अब हम फ क ट र य क रद द करन क आवश यकत ह ।
य द कर क # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * * 3 * 2 * 1 #
इसक अल व, # (2k +2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * * 3 * 2 * 1 #
स चन:
# (2k)! = र ग (ल ल) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * * 3 * 2 * 1) #
# (2k +2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * र ग (ल ल) ((2k) * (2k - 1) * …. * * 3 * 2 * 1) #
ज स क आप द ख सकत ह, हम # (2k)! # अन व र य र प स क एक ह स स ह # (2k + 2)! #। हम इसक उपय ग हर आम शब द क रद द करन क ल ए कर सकत ह:
# (2k)!) / ((2k + 2)!) = रद द (र ग (ल ल) ((2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)) / ((2k + 2) * (2k + 1) * रद द (र ग (ल ल) ((2k) * (2k - 1) * …. * * 3 * 2 * 1) #
# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #
यह छ ड द त ह
# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1)) #
अब, हम इस स म क म ल य कन कर सकत ह । ध य न द क च क हम इस स म क सम म न क स थ नह ल रह ह #एक स#, हम इस न क ल सकत ह:
# => एब स (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #
# => एब स (x ^ 2 * 0) = 0 #
त ज स क आप द ख सकत ह, यह स म = 0, ज 1 स कम ह । अब, हम ख द स प छत ह: क य इसक क ई म ल य ह ? #एक स# ज सक ल ए यह स म be 1 ह ग ? और जव ब नह ह, क य क 0 स ग ण क य गय क छ भ 0 ह ।
इसल ए, जब स #lim_ (k-> oo) abs ((x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) <1 # क सभ म ल य क ल ए #एक स#, हम कह सकत ह क इसम अभ सरण क अ तर ल ह # (- ऊ, ऊ) #.
उम म द ह क मदद क:)
