उत तर:
न च द ख ।
स पष ट करण:
द र भ ग य स अभ न न क अ दर क क र य प र थम क क र य क स दर भ म व यक त नह क य ज सकत ह । ऐस करन क ल ए आपक स ख य त मक व ध य क उपय ग करन ह ग ।
म आपक बत सकत ह क ए प न क ल ए श र खल व स त र क उपय ग क स कर अन म न त म ल य.
ज य म त य श र खल स श र कर:
# 1 / (1-आर) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ ऊर ^ n # क ल य # Rlt1 #
अब सम म न क स थ एक क त # आर # और स म क उपय ग करत ह ए #0# तथ #एक स# इस प न क ल ए:
# int_0 ^ X1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #
ब ए ह थ क ओर घ लम ल:
# Int_0 ^ x 1 / (1-आर) ड = - ln (1-आर) _ 0 ^ एक स = -ln (1-एक स) #
अब द ह न ह थ क ओर क शब द द व र एक क त करक एक क त कर:
# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #
# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #
त यह इस प रक र ह:
# -Ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + …
#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #
अब स व भ ज त कर #एक स#:
#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #
# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #
इसल ए अब हम र प स म ल र प स श र क ए गए फ क शन क ल ए प वर श र खल अभ व यक त ह । अ त म, हम प र प त करन क ल ए फ र स एक क त कर सकत ह:
# Int_0 ^ 1ln (1-x) / एक स = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… dx #
द ह न ह थ क अवध क शब द पक ष द व र एक क त करन हम द त ह:
# Int_0 ^ 1ln (1-x) / एक स = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-एक स ^ 4/16 -… _ 0 ^ 1 #
च र शर त क स म क म ल य कन हम एक अन म न त म ल य द ग:
# Int_0 ^ 1ln (1-एक स) / एक स ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #
#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#
अब, यह क वल च र शब द क ल ए ह । यद आप अध क सट क स ख य च हत ह त श र खल म अध क शब द क उपय ग कर । उद हरण क ल ए, 100 व क र यक ल म ज न:
# Int_0 ^ 1ln (1-एक स) /x
एक तरफ क र प म, यद आप ठ क उस प रक र य स क म करत ह, ल क न य ग स क तन क उपय ग करत ह (य न श र खल क शर त क ल खन क बज य बड स ग म क स थ) त आप प ए ग:
# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #
ज स र फ 2 क र म न-ज ट फ क शन ह, अर थ त:
# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #
हम व स तव म पहल स ह इस क म ल य ज नत ह: #zeta (2) = अन करण य ^ 2/6 #.
इसल ए अभ न न क सट क म ल य क घट य ज सकत ह:
# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 #
