उत तर:
क र प म द ख य
स पष ट करण:
चल
# Arcsinx = थ ट #
फ र
# एक स = sintheta = cos (pi / 2-थ ट) #
# => Arccosx = pi / 2-थ ट = pi / 2-arcsinx #
# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #
# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #
उत तर:
जब व य त क रम ट र गर फ क शन प रम ख म न क स दर भ त करत ह, त यह कथन सह ह, ल क न इसक ल ए अन य उत तर प रद न क ए ज न क त लन म अध क स वध न प र वक ध य न द न क आवश यकत ह ।
जब व य त क रम ट र गर क र य क बह स तर य म न ज त ह, त हम उद हरण क ल ए, अध क ब र क पर ण म म लत ह
#x = प प ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # पर त #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi। #
हम प न क ल ए घट न ह ग # Pi / 2 #.
स पष ट करण:
यह एक म श क ल स यह लग रह ह । अन य उत तर इस उच त सम म न नह द त ह ।
एक स म न य सम म लन छ ट अक षर क उपय ग करन ह #arccos (एक स) # तथ #arcsin (एक स) # बह -प रत क ष त अभ व यक त य क र प म, प रत य क क रमश उन सभ म ल य क इ ग त करत ह ज नक क स इन य स इन क एक द य गय म ल य ह #एक स#.
उन य ग क अर थ व स तव म हर स भव स य जन ह, और व हम श नह द ग # Pi / 2 # व सद व क ट र मल क ण म स एक भ नह द ग # pi / 2 + 2pi k क व ड # प र ण क # कश म र #, ज स क हम अब द ख ए ग ।
आइए द ख क यह पहल बह क र य उलट ट र गर क र य क स थ क स क म करत ह । स म न य र प स य द रख # # cos x = cos a सम ध न ह # x = pm a + 2pi k quad # प र ण क # कश म र #.
# c = arccos x # व स तव म मतलब ह
#x = cos c #
#s = आर क स न x # व स तव म मतलब ह
#x = प प s #
# आपक = s + c #
#एक स# एक व स तव क प र म टर क भ म क न भ रह ह ज इसस स व प करत ह #-1# स व म र #1#। हम हल करन च हत ह # Y #, सभ स भ व त म ल य क ख ज # Y # ज सक प स ए ह #x, s # तथ #स # ज इन ह एक स थ सम करण बन त ह #x = cos c, x = sin s, y = s + c # सच।
# ss = x = cos c #
#cos (pi / 2 - s) = cos c #
हम अपन उपर क त स म न य सम ध न क उपय ग क स इन क सम नत क ब र म करत ह ।
# प / 2 - s = pm c + 2pi k quad # प र ण क # कश म र #
# s pm c = pi / 2 - 2pi k #
त हम बह त अध क अस पष ट पर ण म प र प त करत ह, # स लस क न x अपर ह न आर क स न c = pi / 2 + 2pi k #
(यह स इन क फ ल प करन क अन मत ह # कश म र। #)
आइए अब उन प रम ख म ल य पर ध य न क द र त कर, ज न ह म बड अक षर क स थ ल खत ह:
प रदर शन # प ठ {आर क} प ठ {प प} (x) + प ठ {आर क} प ठ {cos} (x) = pi / 2 #
स म न य र प स पर भ ष त प रम ख म ल य क ल ए यह कथन व स तव म सह ह ।
य ग क क वल तब तक क ल ए पर भ ष त क य ज त ह जब तक क हम जट ल स ख य म बह त गहर न ह ज ए # -1 ल x ल 1 # क य क व ध स न स और क ज इन उस स म म ह ।
हम समकक ष क प रत य क पक ष क द ख ग
# ट क स ट {आर क} ट क स ट {क स} (एक स) स ट क ल {}? = = = प आई / 2 - ट क स ट {आर क} ट क स ट {प प} (एक स) #
हम द न पक ष क क स इन ल ग ।
#cos (प ठ {आर क} प ठ {cos} (x)) = x #
#cos (प आई / 2 - प ठ {आर क} प ठ {प प} (x)) = प प (प ठ {आर क} प ठ {प प} (x)) = x #
त स क त य प रम ख म ल य क ब र म च त क ए ब न हम स न श च त ह
#cos (प ठ {आर क} ट क स ट {cos} (x)) = cos (pi / 2 - ट क स ट {Arc} ट क स ट {sin} (x)) #
म श क ल ह स स, वह ह स स ज सम म न क हकद र ह, अगल कदम ह:
#text {आर क} ट क स ट {cos} (x) = pi / 2 - ट क स ट {Arc} ट क स ट {sin} (x) # HD अभ तक यक न नह
हम स वध न स चलन ह ग । आइए सक र त मक और नक र त मक ल #एक स# अलग स ।
प रथम # 1 ल x x 1 #। इसक मतलब ह क द न व य त क रम ट र गर क र य क प रम ख म ल य पहल चत र थ श क ब च म ह #0# तथ # Pi / 2 # पहल चत र थ श क ल ए व वश, सम न क स सम न क ण ह, इसल ए हम इसक ल ए न ष कर ष न क लत ह # x ge 0, #
#text {आर क} ट क स ट {cos} (x) = pi / 2 - ट क स ट {Arc} ट क स ट {sin} (x) # HD
अभ व # -1 ल x <0. # व ल म च न ह क म ख य म ल य च थ चत र थ श म और उसक ल ए ह #x <0 # हम आम त र पर स म म प रम ख म ल य क पर भ ष त करत ह
# - pi / 2 ल ट क स ट {आर क} ट क स ट {प प} (x) <0 #
# प / 2 ग - प ठ {आर क} प ठ {प प} (x)> 0 #
# ज प ज आई प आई / 2 - ट क स ट {आर क} ट क स ट {प प} (x)> प आई / 2 #
# प ई / 2 <pi / 2 - प ठ {आर क} प ठ {प प} (x) ल प #
नक र त मक व य त क रम क स इन क म ख य म न द सर चत र थ श ह, # pi / 2 <ट क स ट {आर क} ट क स ट {cos} (x) le pi #
त हम र प स द सर चत र थ श म द क ण ह ज नक क स सम न ह, और हम यह न ष कर ष न क ल सकत ह क क ण बर बर ह । क ल य #x <0 #, #text {आर क} ट क स ट {cos} (x) = pi / 2 - ट क स ट {Arc} ट क स ट {sin} (x) # HD
त य त र स त, # प ठ {च प} प ठ {प प} (x) + प ठ {आर क} प ठ {cos} (x) = pi / 2 वर ग म टर #
