उत तर:
परब ल क सम करण ह # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
स पष ट करण:
समर पत क ध र क र प म ह # X + y + 1 = 0 # और फ कस उस पर ह, अगर फ कस क एब स स स ह # प #, समन वय ह # - (प +1) # और फ कस क न र द श क ह # (प, - (प +1)) #.
इसक अल व, समम त क ध र क ल ए ड इर क ट र ल बवत ह ग और इसक सम करण फ र म क ह ग # एक स y + k = 0 #
ज स क परब ल पर हर ब द फ कस और ड यर क ट र क स स सम न ह, इसक सम करण ह ग
# (एक स प) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (एक स-y + k) ^ 2 2 / #
यह परवल ल स ह कर ग जरत ह #(0,0)# तथ #(0,1)# और इसल ए
# प ^ 2 + (प +1) ^ 2 = कश म र ^ 2/2 # ………………… (1) और
# प ^ 2 + (प + 2) ^ 2 = (k-1) ^ 2/2 # …………………(2)
(2) स घट कर (1), हम प र प त करत ह
# 2p + 3 = (- 2k + 1) / 2 #, ज द त ह # K = -2p -5 / 2 #
यह परवलय क सम करण क कम करत ह # (एक स प) ^ 2 + (y + p + 1) ^ 2 = (एक स-y-2p -5 / 2) ^ 2/2 #
और ज स -ज स यह ग जरत ह #(0,0)#, हम म ल
# प ^ 2 + प ^ 2 + 2p + 1 = (4P ^ 2 + 10p + 25/4) 2 / # य # 4P + 2 = 25/4 + 10p #
अर थ त। # 6P = -17 / 4 # तथ # प = -17 / 24 #
और इसल ए # K = -2xx (-17/24) -5 / 2 = -13 / 12 #
और parabola क सम करण क र प म
# (एक स + 17/24) ^ 2 + (y + 7/24) ^ 2 = (एक स-y-13/12) ^ 2/2 # और ग ण करक #576=24^2#, हम म ल
य # (24x + 17) ^ 2 + (24y + 7) ^ 2 = 2 (12x-12y-13) ^ 2 #
य # 576x ^ 2 + 816x + 289 + 576y ^ 2 + 336y + 49 = 2 (144x ^ 2 + 144y ^ 2 + 169-288xy-312x + 312y #
य # 288x ^ 2 + 288y ^ 2 + 576xy + 1440x-288y = 0 #
य # X ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y = 0 #
ग र फ {(x ^ 2 + y ^ 2 + 2xy + 5x-y) (x + y + 1) (12x-12y-13) = 0 -11.42, 8.58, -2.48, 7.52}
