यह स ब त करन क ल ए क श र खल क स अभ सर त ह ?

उत तर:

ड यर क ट कम प र जन ट स ट द व र पर वर त त।

स पष ट करण:

हम ड यर क ट कम प र जन ट स ट क उपय ग कर सकत ह, अब तक हम र प स

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / ट) / (9K ^ 2) #, IE, श र खल एक पर श र ह त ह ।

प रत यक ष त लन पर क षण क उपय ग करन क ल ए, हम यह स ब त करन ह ग # A_k = क य क (1 / ट) / (9K ^ 2) # पर सक र त मक ह # 1, ऊ) #.

पहल, ध य न द क अ तर ल पर # 1, ऊ), क स (1 / k) # सक र त मक ह । क म ल य क ल ए #एक स # Cosx # पहल चत र थ श म ह (और इसल ए सक र त मक)। ख र, क ल ए #k> = 1, 1 / k इसल ए, #cos (1 / ट) # व स तव म सक र त मक ह ।

इसक अल व, हम कह सकत ह #cos (1 / ट) <= 1 #, ज स #lim_ (k-> ऊ) क य क (1 / कश म र) = क य क (0) = 1 #.

फ र, हम एक नए अन क रम क पर भ ष त कर सकत ह

# B_k = 1 / (9K ^ 2)> = a_k # सबक ल ए # कश म र। #

क आ, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9K ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

हम ज नत ह क यह धर म न तर त ह # P- #श र खल पर क षण, यह फ र म म ह # Sum1 / k ^ प # कह प # प = 2> 1 #.

फ र, च क बड श र खल अभ सरण करत ह, इसल ए छ ट श र खल ह न च ह ए।

उत तर:

यह प रत यक ष त लन पर क षण (व वरण क ल ए न च द ख) द व र अभ सरण करत ह ।

स पष ट करण:

यह स व क र कर क क स इन क स म -1,1 ह । क ग र फ द ख #cos (1 / एक स) #:

ग र फ {क स (1 / x) -10, 10, -5, 5}

ज स क आप द ख सकत ह, ज य द स ज य द म ल य यह प र प त ह ग 1. जब स हम यह अभ सरण क स ब त करन क क श श कर रह ह, त हम अ श क 1 पर स ट करत ह, छ ड त ह:

# Sum1 / (9K ^ 2) #

अब, यह एक बह त ह सरल प रत यक ष त लन पर क षण समस य बन ज त ह । य द रख क प रत यक ष त लन पर क षण क य करत ह:

एक मनम न श र खल पर व च र कर # A_n # (हम नह ज नत क क य यह अभ सरण / व चलन करत ह), और एक श र खल ज सक ल ए हम अभ सरण / व चलन ज नत ह, # B_n #:

अगर # ब _ एन> ए_ एन # तथ # B_n # फ र ज टत ह # A_n # भ ज टत ह ।

अगर # ब _एन <a_n # तथ # B_n # ग त ख र, फ र # A_n # व चलन भ करत ह ।

हम इस फ क शन क त लन कर सकत ह # ब _ एन = 1 / क ^ 2 #। हम ऐस कर सकत ह क य क हम ज नत ह क यह अभ सरण (प -ट स ट क क रण) ह ।

इसल ए, जब स # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, तथ # 1 / k ^ 2 # धर म न तर त, हम कह सकत ह क श र खल म पर वर तन ह त ह

ल क न, प रत क ष कर, हमन क वल यह स ब त क य क यह श र खल अ श = 1. सभ अन य म ल य क ब र म क य कहत ह #cos (1 / ट) # कर सकत थ ? ख र, य द ह क 1 ह ज य द स ज य द म ल य ह क अ श ल सकत ह । इसल ए, जब स हमन स ब त क य ह क यह अभ सरण करत ह, हमन अप रत यक ष र प स यह स ब त कर द य ह क यह श र खल अ श म क स भ म न क ल ए पर वर त त ह गई ह ।

उम म द ह क मदद क:)