उत तर:
श ष क बर बर ह #0# कब # प # य त #2# य #3#, और यह बर बर ह #1# अन य सभ प रम ख स ख य ओ क ल ए।
स पष ट करण:
सबस पहल इस समस य क द र क य ज सकत ह क य क इसक म ल य ज ञ त करन ह # 12 ^ (प -1) म ड प # कह प # प # एक अभ ज य स ख य ह ।
इस समस य क हल करन क ल ए आपक य लर क प रम य क ज नन ह ग । य लर क प रम य म कह गय ह क #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # क स भ प र ण क क ल ए #ए# तथ # उपलब ध नह # व नकल कर रह ह (व क स भ क रक स झ नह करत ह)। आप स च रह ह ग क क य # # varphi (n) # ह । यह व स तव म एक फ क शन ह ज स ट ट ए ट फ क शन क र प म ज न ज त ह । इस प र ण क क स ख य क बर बर पर भ ष त क य गय ह # <= N # ऐस ह क उन प र ण क क ल ए प रत र प ह # उपलब ध नह #। ध य न रख क स ख य #1# सभ प र ण क क ल ए क प र इड म न ज त ह ।
अब जब हम Euler क प रम य क ज नत ह, त हम इस समस य क हल करन क ब र म ज सकत ह ।
ध य न द क सभ क अल व अन य primes #2# तथ #3# क स थ म क बल कर रह ह #12#। आइए ब द क ल ए 2 और 3 क अलग कर और ब क क प र इम स पर ध य न द । च क उन अन य अपर ध म 12 स सह न भ त ह, हम उनक ल ए य लर क प रम य क ल ग कर सकत ह:
# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod p #
जबस # प # एक प रम ख स ख य ह, # Varphi (प) = प -1 #। यह समझ म आत ह क य क एक अभ ज य स ख य स कम प रत य क स ख य इसक स थ म थ न ह ग ।
इसल ए, अब हम र प स ह # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #
उपर क त अभ व यक त क अन व द क य ज सकत ह # 12 ^ {प 1} # द व र व भ ज त # प # क श ष ह #1#.
अब हम बस ह स ब करन क जर रत ह #2# तथ #3#, ज स क आपन पहल कह थ, द न क अवश ष थ #0#.
इसल ए, क ल म ल कर हमन यह स ब त कर द य ह # 12 ^ {प 1} # द व र व भ ज त # प # कह प # प # एक अभ ज य स ख य श ष ह #0# जब प य त ह #2# य #3# और श ष ह #1# अन यथ ।
