म कल र न श र खल म इसक व स त र क स क य ज ए? f (x) = int_0 ^ xlog (1-ट ) / tdt

उत तर:

#f (x) = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n) +1) ^ 2 #

द श य: इस ग र फ क द ख

स पष ट करण:

हम स पष ट र प स इस अभ न न क म ल य कन नह कर सकत ह क य क यह हम र द व र स ख गई न यम त एक करण तकन क म स क स क उपय ग कर रह ह । ह ल क, च क यह एक न श च त अभ न न अ ग ह, इसल ए हम MacLaurin श र खल क उपय ग कर सकत ह और कर सकत ह ज स टर म इ ट ग र शन कह ज त ह ।

हम MacLaurin श र खल ख जन क आवश यकत ह ग । च क हम उस फ क शन क nth व य त पन न क नह ढ ढन च हत ह, इसल ए हम उस MacLaurin श र खल म फ ट ह न क क श श करन ह ग ज स हम पहल स ज नत ह ।

सबस पहल, हम पस द नह करत # ल ग #; हम च हत ह क ए # Ln #। ऐस करन क ल ए, हम बस आध र स त र क पर वर तन क न य ज त कर सकत ह:

#log (x) = ln (x) / ln (10) #

त हम र प स:

# Int_0 ^ XLN (1-ट) / (TLN (10)) ड ट #

हम ऐस क य करत ह ? ख र, अब ध य न द # d / dxln (1-t) = -1 / (1-t) # यह इतन ख स क य ह ? क आ, # 1 / (1-एक स) # आमत र पर इस त म ल क ज न व ल म कल र न श र खल म स एक ह:

# 1 / (1-x) = 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + … = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n #

…सबक ल ए #एक स# पर #(-1, 1#

इसल ए, हम अपन ल भ क ल ए इस स ब ध क उपय ग कर सकत ह, और प रत स थ प त कर सकत ह #ln (1-ट) # स थ म # प र ण क-1 / (1-ट) ड ट #, ज हम इस बदलन क अन मत द त ह # Ln # MacLaurin श र खल क स थ शब द। इस एक स थ रखन स यह म लत ह:

#ln (1-t) / (tln (10)) = -1 / (tln (10)) int 1 + t + t ^ 2 + t ^ 3 + … + t ^ n dt #

अभ न न क म ल य कन:

# = -1 / (tln (10)) t + t ^ 2/2 + t ^ 3/3 + t ^ 4/4 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) #

रद द कर रह ह # ट # हर म शब द:

# = -1 / (ln (10)) 1 + ट / 2 + ट ^ 2/3 + ट ^ 3/4 + … + ट ^ (एन) / (एन + 1) #

और अब, हम न श च त अभ न नत ल त ह ज सक स थ हमन समस य श र क:

# int_0 ^ x (-1 / (ln (10)) 1 + ट / 2 + ट ^ 2/3 + ट ^ 3/4 + … + ट ^ (एन) / (एन + 1)) ड ट #

ध य न द : ध य न द क अब हम इस समस य म श न य स व भ ज त ह न क ब र म च त करन क आवश यकत नह ह, ज क एक म द द ह ज सक वजह स हम म ल एक क त म ह न च ह ए थ । # ट # हर म शब द। च क यह प छल चरण म रद द कर द य गय थ, यह दर श त ह क अस त ष हट न य ग य ह, ज हम र ल ए अच छ क म करत ह ।

# = -1 / (ln (10)) t + t ^ 2/4 + t ^ 3/9 + t ^ 4/16 + … + t ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 # स म ल य कन क य गय #0# स व म र #एक स#

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 - 0 #

# = -1 / (ln (10)) x + x ^ 2/4 + x ^ 3/9 + x ^ 4/16 + … + x ^ (n + 1) / (n + 1) ^ 2 #

स न श च त कर क आपक एहस स ह, ह ल क, यह श र खल क वल अ तर ल पर अच छ ह #(1, 1#, च क म कल उर न श र खल ज सक हमन ऊपर उपय ग क य ह, इस अ तर ल पर क वल अभ सरण ह । इस ग र फ क ज च कर क म न एक ब हतर व च र प र प त क य ह क यह क स द खत ह ।

उम म द ह क मदद क:)