व भ दक सम करण क हल कर : (d ^ 2y) / (dx ^ 2) dy8 (ड ई) / (dx) = )16y? चर च कर क यह क स प रक र क अ तर सम करण ह , और यह कब उत पन न ह सकत ह ?

उत तर:

# आपक = (Ax + B) e ^ (4x) #

स पष ट करण:

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) dy8 (ड ई) / (dx) = y16y #

सबस अच छ ल ख ह

# (d ^ 2y) / (dx ^ 2) dy8 (ड ई) / (dx) + 16y = 0 qquad त र क ण #

ज द ख त ह क यह र ख क द सर क रम सज त य व भ दक सम करण ह

इसम च र त र क सम करण ह

# आर ^ 2 r8 आर + 16 = 0 #

ज स न म न न स र हल क य ज सकत ह

# (आर -4) ^ 2 = 0, आर = 4 #

यह एक द हर य र ट ह इसल ए स म न य सम ध न क र प म ह

# आपक = (Ax + B) e ^ (4x) #

यह ग र-द लन ह और क छ प रक र क घ त य व यवह र क म डल करत ह ज व स तव म ए और ब क म ल य पर न र भर करत ह । क ई अन म न लग सकत ह क यह आब द य श क र / श क र स स पर क करन क प रय स ह सकत ह ल क न म व स तव म बह त व श ष ट क छ नह कह सकत ।

यह अस थ रत क दर श त ह और यह सब म र ब र म व स तव म कह सकत ह

उत तर:

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

स पष ट करण:

व भ दक सम करण

# (घ ^ 2y) / (dx ^ 2) -8 (ड व ई) / (DX) + 16y = 0 #

एक र ख क सज त य न र तर ग ण क सम करण ह ।

उन सम करण क ल ए स म न य सम ध न म स रचन ह त ह

# य = ई ^ {ल बद x} #

हम र प स सबस ट ट य शन ह

# ई ^ {ल बद x} (ल ब द 2- 2- ब क ब + 16) = 0 #

यह # ई ^ {ल बद x} न ० # इसल ए सम ध न क प लन करन च ह ए

# ल म ब ड ^ 2- ब क बद + 16 = (ल म ब ड -4) ^ 2 = 0 #

सम ध न हम प र प त करत ह

# Lambda_1 = lambda_2 = 4 #

जब जड द हर ए, # d / (d lambda) e ^ {lambda x} # सम ध न भ ह । क म मल म # उपलब ध नह # जड क द हर य, हम र प स सम ध न क र प म ह ग:

#C_i (d ^ i) / (d lambda ^ i) e ^ {lambda x} # क ल य # म = 1,2, cdots, एन #

इसल ए, प र र भ क स थ त य क स ख य क बन ए रखन क ल ए, हम उन ह स वत त र सम ध न क र प म श म ल करत ह ।

इस म मल म हम र प स ह

#y = C_1 e ^ {lambda x} + C_2d / (d lambda) e ^ {lambda x} #

ज सक पर ण मस वर प

# y = (C_1 + C_2x) e ^ {lambda x} #

र ख य सर क ट स द ध त य र ख क य त र क म प ए ज न व ल र ख क ल ब त प र म टर स स टम क म डल ग करत समय व सम करण द ख ई द त ह । उन सम करण क आम त र पर ल प ल स ट र सफ र म व ध य ज स पर च लन ब ज य तर क क उपय ग करक न य त र त क य ज त ह