आप f (x) = sinhx क ल ए MacLaurin क फ र म ल क स ढ ढत ह और 0.01 क भ तर लगभग f (1/2) क उपय ग करत ह ?

उत तर:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

स पष ट करण:

हम इसक पर भ ष ज नत ह #sinh (एक स) #:

#sinh (x) = (ई ^ x-ए ^ -x) / 2 #

च क हम म क ल र न श र खल क ल ए ज नत ह # ई ^ x #, हम इसक उपय ग एक क न र म ण क ल ए कर सकत ह #sinh (एक स) #.

# ई ^ एक स = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (एन!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

हम इसक ल ए श र खल प सकत ह # ई ^ -x # बदलकर #एक स# स थ म #-एक स#:

# ई ^ -x = sum_ (n = 0) ^ ऊ (-x) ^ n / (एन!) = Sum_ (n = 0) ^ ऊ (-1) ^ n / (एन!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

हम इन द न क एक द सर स घट सकत ह # स ह # पर भ ष:

#color (सफ द) (-। e ^ -x) ई ^ एक स = र ग (सफ द) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (!) 3 + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (सफ द) (ई ^ एक स) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# ई ^ XE ^ -x = र ग (सफ द) (lllllllll) 2xcolor (सफ द) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) र ग (सफ द) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

हम द ख सकत ह क सभ सम न शब द रद द ह गए ह और सभ व षम शब द द ग न ह । हम इस तरह स इस प टर न क प रत न ध त व कर सकत ह:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

प र करन क ल ए #sinh (एक स) # श र खल, हम बस इस व भ ज त करन क आवश यकत ह #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ o क स ल 2 / (2 रद द + 2)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)! = = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

अब हम गणन करन च हत ह #f (1 / 2) # कम स कम सट कत क स थ #0.01#। हम nth ड ग र taylor बह पद क ब र म ब ध य Lagrange त र ट क इस स म न य र प क ज नत ह # एक स = c #:

# | R_n (एक स) | <= | एम / (! (N + 1)) (एक स ग) ^ (n + 1) | # कह प # एम # स अ तर ल पर व य त पन न पर एक ऊपर ब ध य ह #स # स व म र #एक स#.

हम र म मल म, व स त र एक म कल र न श र खल ह, इसल ए # C = 0 # तथ # x = 1 / 2 #:

# | R_n (एक स) | <= | एम / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

क उच चतर क रम व य त पन न #sinh (एक स) # य त ह ग #sinh (एक स) # य #cosh (एक स) #। यद हम उनक ल ए पर भ ष ओ पर व च र करत ह, त हम द खत ह #cosh (एक स) # हम श स बड ह ग #sinh (एक स) #, इसल ए हम ब हर क म करन च ह ए # एम #-क ल ए बध य #cosh (एक स) #

ह इपरब ल क क ज न फ क शन हम श बढ त रहत ह, इसल ए अ तर ल पर सबस बड म ल य ह ग #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (ई ^ (1/2) + ई ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = एम #

अब हम इस ल ग र ग एरर ब उ ड म प लग करत ह:

# | R_n (एक स) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

हम च हत ह # | R_n (एक स) | # स छ ट ह न #0.01#, त हम क छ क श श करत ह # उपलब ध नह # जब तक हम उस ब द तक नह पह चत (बह पद म, शब द क कम म त र) ब हतर। हम वह म ल गय # N = 3 # वह पहल म ल य ह ज हम एक त र ट स छ ट प रद न कर ग #0.01#, इसल ए हम एक 3 ड ग र ट लर बह पद क उपय ग करन क आवश यकत ह ।

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n +1)!) = 336,169 / 645,120 ~~ 0.52 #