त र ज य , आर और ऊ च ई एच क सबस बड स ल डर क य ह ज त र ज य , आर क क ष त र म फ ट ह सकत ह ?

उत तर:

यद हम च नत ह त स ल डर क अध कतम म त र प ई ज त ह

# r = sqrt (2/3) R #, तथ # ह = (2 आर) / वर गर ट (3) #

यह व कल प अध कतम स ल डर व ल य म क ओर ज त ह:

# V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

स पष ट करण:

``

स ल डर क क द र क म ध यम स एक क र स स क शन क कल पन कर, और स ल डर क ऊ च ई द # ज #, और आयतन # व #, त हम र प स ह;

# ज # तथ # आर # व व ध और ह सकत ह # आर # एक स थ र ह । स ल डर क आयतन म नक स त र द व र द य गय ह:

# व = प र ^ 2 एच #

क ष त र क त र ज य, # आर # पक ष क स थ त र भ ज क कर ण ह # आर # तथ # 1/2 एच #, इसल ए प इथ ग रस क उपय ग करन, हम र प स ह:

# _ _ _ R ^ 2 = r ^ 2 + (1 / 2h) ^ 2 #

#:। R ^ 2 = r ^ 2 + 1 / 4h ^ 2 #

#:। r ^ 2 = R ^ 2-1 / 4h ^ 2 #

हम इस प न क ल ए अपन व ल य म सम करण म स थ न पन न कर सकत ह:

# _ _ _ व = प र ^ 2 ह #

#:। व = प (आर ^ 2-1 / 4 एच ^ 2) एच #

#:। V = pi R ^ 2h-1 / 4pih ^ 3 #

अब हम र प स व ल य म ह, # व # एक एकल चर क एक सम र ह क र प म # ज #, ज स हम wrt क अध कतम करन च हत ह # ज # इतन अलग wrt # ज # द त ह:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

न य नतम य अध कतम पर, # (DV) / (dh) = 0 # इसल ए:

# प ई आर ^ 2-3 / 4 प आईएच ^ 2 = 0 #

#:। 3 / 4h ^ 2 = R ^ 2 #

#:। H ^ 2 = 4/3 R ^ 2 #

#:। h = sqrt (4/3 R ^ 2) "" # (ज ह र ह हम त + व र ट च हत ह)

#:। h = (2R) / sqrt (3) #

क इस म ल य क स थ # ज # हम म ल:

# _ _ _ आर ^ 2 = आर ^ 2-1 / 4 4/3 आर ^ 2 #

#:। r ^ 2 = R ^ 2-http: // 3 R ^ 2 #

#:। r ^ 2 = 2 / 3R ^ 2 #

#:। r = sqrt (2/3) R #

हम यह ज चन च ह ए क यह म न अध कतम (अध कतम क बज य) म त र क ओर ज त ह, हम इस द सर व य त पन न क द खकर करत ह:

# (dV) / (dh) = pi R ^ 2-3 / 4pih ^ 2 #

#:। (d ^ 2V) / (dh ^ 2) = -6 / 4pih #

और ज स # म> 0 # हम यह न ष कर ष न क लत ह # (d ^ 2V) / (dh ^ 2) <0 # और यह क महत वप र ण ब द क पहच न क म ग क र प म एक अध कतम क ओर ज त ह ।

इसल ए, यद हम च नत ह त स ल डर क अध कतम म त र प ई ज त ह

# r = sqrt (2/3) R #, तथ # ह = (2 आर) / वर गर ट (3) #

इस व कल प क स थ हम अध कतम म त र म लत ह;

# V = pi R ^ 2 ((2R) / sqrt (3)) -1 / 4pi ((2R) / sqrt (3)) ^ 3 #

#:। V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - 1 / 4pi ((8R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:। V = (2pi R ^ 3) / sqrt (3) - (2piR ^ 3) / (3sqrt (3)) #

#:। V = (4pi R ^ 3) / (3sqrt (3)) #

और स पष ट र प स क ष त र क आयतन द व र द य गय ह:

#V_s = 4 / 3piR ^ 3 #

यह एक बह त प रस द ध समस य ह, ज सक अध ययन क लक लस क ख ज स पहल ग र क गण तज ञ न क य थ । एक द लचस प स पत त स ल डर क आयतन क अन प त क अन प त ह:

# V / V_s = ((4pi R ^ 3) / (3sqrt (3))) / (4 / 3piR ^ 3) = 1 / sqrt (3) #

द सर शब द म व ल य म क अन प त प र तरह स स वत त र ह # आर #, # आर # य # ज # ज क फ आश चर यजनक पर ण म ह !