उत तर:
# #
# "(i) सच ह ।" "
# "(ii) गलत।"
स पष ट करण:
# #
# "सब त।" #
# "(i) हम ऐस उप-सम च चय क न र म ण कर सकत ह:" #
RR म # "1)" forall r ", चल:" RRR 2 म "qquad quad V_r = (x, r x) । #
# "ज य म त य र प स," V_r "ढल न" r। "क म ल स थ न" RR ^ 2 "क म ध यम स ह । #
# 2) हम ज च ग क य उप-सम ह द व क सह ठहर त ह (i)। #
# 3) स पष ट र प स: " qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad V_r sube RR ^ 2।" #
# "4) ज च कर क:" qquad qquad V_r "" RR ^ 2 क एक उच त उप-सम ह ह । #
# "Let:" qquad u, v_r म व, अल फ, आरआर म ब ट । qquad qquad qquad quad "सत य प त कर क: V_r म " quad Alpha u + Beta v । #
# u, v_r rArr u = (x_1, r x_1), v = (x_2, r x_2) म; RR # म क छ " x_1, x_2 " क ल ए
# / qquad qquad qquad:। qquad quad Alpha u + beta v = Alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #
# / qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = Alpha (x_1, r x_1) + beta (x_2, r x_2) #
# / qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (Alpha x_1, Alpha r x_1) + (Beta x_2, beta r x_2) #
# / aquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (अल फ x_1 + ब ट x_2, अल फ r x_1 (ब ट r x_2) #
# / qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad quad = (अल फ x_1 + ब ट x_2, r (अल फ x + + ब ट x_2) #)
V_r म # qquad qquad qquad qquad qquad quad quad = (x_3, r x_3); "क क व ड" क स थ " x_3 = अल फ x_1 + ब ट x_2। #
# "त:" qquad qquad qquadu, v_r म v, Alpha, ब ट आरआर म r r rrr quad Alpha u + beta v । #
# "इस प रक र:" qquad qquad qquad qquad qquad Quad V_r "" RR ^ 2 क एक उप-सम ह ह । #
# "यह द खन क ल ए क " _ V_r "ग र-श न य ह, ध य न द:" #
V_r, "और" (1, r) ne (0, 0) # म # # qquad qquad qquad qquad qquad qquad (1, r)। #।
# "यह द खन क ल ए क " V_r "उच त ह," "ध य न द क " (1, r + 1)! V_r: # म !
# (1, r + 1) V_r rArr म "(" V_r "क न र म ण स)" quad r cdot 1 = r + 1 #
# / qquad qquad qquad qquad qquad rqur rArr r = r + 1, "स पष ट र प स अस भव।" #
# "इस प रक र:" qquad qquad qquad V_r "" RR ^ 2 क एक ग र-श न य, उच त उप-स थ न ह । qquad qquad qquad (1) #
# "5) अब द ख त ह क अस म र प स ऐस कई उप-स थ न ह " V_r। #
# "चल:" qquad qquad r, s RR म । qquad qquad qquad quad "हम द ख ए ग:" qquad r ne s rArr V_r ne V_s। #
# "पर भ ष स:" quad (1, r) = (1, r cdot 1) _ म V_r; V_s म (1, s) = (1, s cdot 1) । #
# "स पष ट र प स:" qquad qquad qquad qquad rquad r ne s rArr (1, r) ne (1, s)। #
# "इस प रक र:" qquad qquad qquad qquad qquad qquad r ne s r rArr V_r ne V_s। #
# "त आरआर " म प रत य क " r " एक व श ष ट उप-स थ न " V_r प द करत ह । #
# "यह, (1) क स थ, द त ह:" #
"# उपप रज त य क पर व र:" आरआर _ म _ _, एक अन त पर व र ह "#
"ग र-श न य," "आरआर ^ 2 क उच त उप-स थ न।" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad वर ग #
# "(ii) यह व स तव म आस न ह । यद स स टम च क र ह, और" #
"# स स टम क ग ण क आव ग, वह क वल" # ह ग
# "श न य सम ध न।" #
# "म न ल ज ए:" qquad qquad quad A "एक वर ग, उल ट म ट र क स ह ।" #
# "सज त य प रण ल पर व च र कर:" #
# / qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad A x = 0। #
# "इस प रक र," "" उल ट ह: "#
# / / qquad qquad qquad qquad qquad qquad A ^ {- 1} cdot ए x = ए ^ {- 1} cdot 0। #
# / qquad qquad qquad qquad:। qquad qquad qquad qquad x = 0। #
# / qquad qquad qquad qquad:। qquad qquad qquad qquad x = 0। #
# "इस प रक र, सज त य प रण ल " A x = 0, "म " # नह ह
# "ग र-श न य सम ध न।" qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad वर ग #
