E ^ x / ([x] +1), x> 0 और कह [x] क श र ण सबस बड प र ण क क दर श त ह ?

उत तर:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

स पष ट करण:

म म नत ह #एक स# स छ ट सबस बड प र ण क ह #एक स#। न म नल ख त उत तर म, हम स क तन क उपय ग कर ग #ceil (एक स) #, छत सम र ह कह ज त ह ।

चल #f (x) = e ^ x / (छत (x) +1) #। जबस #एक स# स कड बड ह #0#, इसक मतलब ह क क ड म न # च # ह # (0, + ऊ) #.

ज स #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # और तब स # ई ^ x # हम श सक र त मक ह, # च # हम श कड ई स बड ह #0# अपन ड म न म । यह ध य न रखन क ल ए महत वप र ण ह # च # ह नह इ ज क शन और भ प र क त क स ख य म न र तर नह ह । यह स ब त करन क ल ए, चल # उपलब ध नह # एक प र क त क स ख य बन:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (छत + 1) #

इसल य #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# आर_ एन = ई ^ एन / (एन + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (छत + 1) #

इस तरह, #ceil (x) = n #.

# एल_ एन = ई ^ एन / (एन + 1) #

च क ब ए और द ए तरफ स म ए सम न नह ह, # च # प र ण क पर न र तर नह ह । इसक अल व, #L> आर # सबक ल ए # एनएन म #.

ज स # च # सक र त मक प र ण क स ब ध अ तर ल म व द ध ह रह ह, अ तर ल क अन स र "सबस छ ट म ल य" ह ग #एक स# द ई ओर स न चल स म क प स।

इसल ए, क न य नतम म ल य # च # ह न ज रह ह

# R_0 = lim_ (x-> 0 ^ +) f (x) = lim_ (x-> 0 ^ +) e ^ x / (Ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

यह न म न श र ण क स म ह # च #.

ह ल क यह कहन सह नह ह # च # बढ त ज रह ह, यह अर थ म ह, asymptotically, यह अन त तक पह चत ह - ज स क न च स ब त ह आ ह:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (छत (x) +1) #

ज स #cexx> = x #, वह म ज द ह #delta <1 # ऐस ह क # Ceilx = x + ड ल ट #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + ड ल ट + 1) #

चल #u = x + ड ल ट + 1 => x = u-ड ल ट -1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (ड ल ट + 1) #

# ई ^ य # जबक त ज स बढ ज त ह # य # ऐस र ख क र प स करत ह, ज सक अर थ ह

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (ड ल ट + 1) = oo * 1 / e ^ (ड ल ट + 1) = oo #

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

इसल ए क स म # च # ह

# "र ज" = (1/2, ऊ) #

अ तर ल ब ई ओर ख ल ह क य क #http: // 2 # अभ भ #F (0) #, और ज स #एक स# द ष ट क ण #0^+#, #F (एक स) # क वल द ष ट क ण #http: // 2 #; यह व स तव म बर बर नह ह ।