आप वक र y = x ^ 2 - 1 और y = 0 स घ र क ष त र क आयतन ल इन x = 5 क आसप स क स प त ह ?

उत तर:

# व = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = अन करण य (85 + 1/3) #

स पष ट करण:

इस आयतन क गणन करन क ल ए हम क छ अर थ म इस (अन त र प स पतल) स ल इस म क टत ज रह ह ।

हम इस क ष त र क कल पन करत ह, इसक स थ हम र मदद करन क ल ए, म न उस ग र फ क स लग न क य ह जह क ष त र वक र क न च क भ ग ह । हमन ध य न द य क # Y = x ^ 2-1 # र ख क प र करत ह # X = 5 # कह प # Y = 24 # और यह र ख क प र करत ह # Y = 0 # कह प # X = 1 # ग र फ {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

ऊ च ई व ल क ष त ज स ल इस म इस क ष त र क क टत समय # ड व ई # (बह त छ ट ऊ च ई)। इन स ल इस क ल ब ई y समन वय पर बह त न र भर करत ह । इस ल ब ई क गणन करन क ल ए हम एक ब द स द र ज नन क आवश यकत ह # (Y, x) # र ख पर # Y = x ^ 2-1 # ब द (5, y) क ल ए। ब शक यह ह # 5-x #, ल क न हम ज नन च हत ह क यह क स न र भर करत ह # Y #। जबस # Y = x ^ 2-1 #, हम ज नत ह # X ^ 2 = y + 1 #जब स हम र प स ह #x> 0 # ज स क ष त र म हम र च रखत ह, उसक ल ए # एक स = sqrt (y + 1) #, इसल ए यह द र पर न र भर करत ह # Y #, ज स हम न र प त कर ग #R (y) # द व र द य गय ह #R (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

अब हम इस क ष त र क घ म त ह # X = 5 #, इसक मतलब ह क हर ट कड ऊ च ई क स थ एक स ल डर बन ज त ह # ड व ई # और त र ज य #R (y) #, इसल ए एक व ल य म #pir (y) ^ 2dy #। अब हम क वल इतन करन ह क एक करण क उपय ग करक इन अस म र प स छ ट स स करण क ज ड ज ए। हमन ध य न द य क # Y # स चल ज त ह #0# स व म र #24#.

# V = int_0 ^ ज प र (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1 + + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) ड व ई = अन करण य 26y -20 / 3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = अन करण य (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = अन करण य (85 + 1/3) #.