Pord / 12 स pi / 6 र ड यन स एक सर कल पर 12 क ल ब ई क स थ एक र ग। व त त क क ष त रफल क य ह ?

उत तर:

एक व त त क क ष त रफल ह

#S = (36pi) / प प ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

स पष ट करण:

ऊपर द गई तस व र समस य म न र ध र त स थ त य क दर श त ह । सभ क ण (ब हतर समझ क ल ए बढ ह ए) क ष त ज एक स-अक ष स र ड यन ग नत म ह # OX # व म वर त।

# एब = 12 #

# / _ Xóa = pi / 12 #

# / _ XOB = अन करण य / 6 #

# OA = ओब = r #

हम इसक क ष त र क न र ध र त करन क ल ए एक व त त क त र ज य ज ञ त करन ह ग ।

उस र ग क हम ज नत ह # एब # ल ब ई ह #12# और त र ज य क ब च एक क ण # OA # तथ # ओब # (कह प # ह # एक व त त क एक क द र ह)

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

एक ऊ च ई क न र म ण # OH # एक त र क ण क # द ल ल एओब # श र ष स # ह # क तरफ # एब #। जबस # द ल ल एओब # समद व ब ह ह, # OH # मध यम और क ण द व भ जक ह:

# एएच = एचब = (एब) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ व ह = (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

एक सह त र क ण पर व च र कर # ड ल ह एओ #.

हम ज नत ह क क थ टस # एएच = 6 # और क ण # / _ AOH = pi / 24 #.

इसल ए, कर ण # OA #, ज हम र सर कल क एक द यर ह # आर #, बर बर ह

# R = OA = (एएच) / प प (/ _ AOH) = 6 / प प (pi / 24) #

त र ज य ज नन क ब द, हम एक क ष त र प सकत ह:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / प प ^ 2 (pi / 24) #

इस त र क णम त य क र य क ब न व यक त करत ह ।

जबस

# प प ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

हम क ष त र क इस प रक र व यक त कर सकत ह:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

एक और त र क णम त य पहच न:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

इसल ए,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

अब हम एक सर कल क क ष त र क प रत न ध त व कर सकत ह

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

उत तर:

एक और द ष ट क ण एक ह पर ण म

स पष ट करण:

उपर क त आक त म ल ब ई 12 क क र ड एब स चलत ह # Pi / 12 # स व म र # अन करण य / 6 # त र ज य क घ र म आर और क द र ओ, म ल क र प म ल य गय ।

#_ एओएक स = प / 12 # तथ # / _ ब क स = अन करण य / 6 #

अत ध र व य समन वय ए # = (आर, pi / 12) # और वह ब # = (आर, pi / 6) #

ध र व य समन वय क ल ए द र स त र ल ग करन

ज व एब क ल ब ई,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * आर ^ 2 * cos (/ _ ब क स - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * आर ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2R ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => आर ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => आर ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => आर ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => आर ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + क य क (2 * pi / 12)) #

# => आर ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => आर ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

सर कल क क ष त र

# = अन करण य * आर ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #