क य वक र y = x ^ (x (1 + 1 / y)), x> 0 पर क ई ब द (x, y) ह , ज स पर स पर शर ख x- अक ष क सम न तर ह ?

उत तर:

ऐस क ई ब द नह ह, जह तक म र गण त ज त ह ।

स पष ट करण:

पहल, आइए स पर शर ख क स थ त य पर व च र कर यद यह इसक सम न तर ह #एक स#-एक स स। क ब द स #एक स#-एक स स क ष त ज ह, इसक सम न तर क ई भ र ख क ष त ज भ ह न च ह ए; त यह इस प रक र ह क स पर शर ख र ख क ष त ज ह । और, ब शक, क ष त ज स पर शर ख ए तब ह त ह जब व य त पन न बर बर ह त ह #0#.

इसल ए, हम सबस पहल इस र क षस सम करण क व य त पन न क ढ ढन श र करन च ह ए, ज स अ तर न ह त भ दभ व क म ध यम स प र क य ज सकत ह:

# Y = x ^ (x + x / y) #

# -> lny = (x + x / y) lnx #

र श न यम, श र खल न यम, उत प द न यम, भ गफल न यम और ब जगण त क उपय ग करन, हम र प स ह:

# घ / dx (lny) = d / dx ((x + x / y) lnx) #

# -> व / dx * 1 / y = (x + x / y) '(lnx) + (x + x / y) (lnx)' #

# -> व / dx * 1 / y = (1 + (x'y-xdy / dx) / y ^ 2) (lnx) + (x + x / y) (1 / एक स) #

# -> व / dx * 1 / y = lnx + lnx ((y-xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> व / dx * 1 / y = lnx + lnx (1 / y- (xdy / dx) / y ^ 2) + 1 + 1 / y #

# -> व / dx * 1 / y = lnx + (lnx) / y- (xlnxdy / dx) / y ^ 2 + 1 + 1 / y #

# -> व / dx * 1 / y + (xlnxdy / dx) / y ^ 2 = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> व / dx (1 / y + (xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> व / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = lnx + (lnx) / y + 1 + 1 / y #

# -> व / dx ((y + xlnx) / y ^ 2) = (ylnx + lnx + 1 + y) / y #

# -> व / dx = ((ylnx + lnx + 1 + y) / y) / ((y + xlnx) / y ^ 2) #

# -> व / dx = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

व ह … वह त व र थ । अब हम व य त पन न क बर बर स ट करत ह #0# और द ख क य ह त ह ।

# 0 = (y (ylnx + lnx + 1 + y)) / (y + xlnx) #

# 0 = ylnx + lnx + 1 + y #

# -Ylnx-y = lnx + 1 #

# -Y (lnx + 1) = lnx + 1 #

#Y (lnx + 1) = - (lnx +1) #

#Y = (- (lnx +1)) / (lnx +1) #

# Y = -1 #

द लचस प। अब चल प लग म # Y = -1 # और द ख क हम क य म लत ह #एक स#:

# Y = x ^ (एक स (1 + 1 / y)) #

# -1 = एक स ^ (एक स (1 + 1 / -1)) #

# -1 = एक स ^ (एक स (1-1)) #

# -1 = x ^ 0 #

#-1=1#

च क यह एक व र ध भ स ह, इसल ए हम न ष कर ष न क लत ह क इस शर त क प र करन क ल ए क ई ब द नह ह ।

उत तर:

वह इस तरह क एक स पर शर ख म ज द नह ह ।

स पष ट करण:

# आपक = x ^ (x (1 + 1 / y)) बर बर y ^ {y / (y + 1)} = = X ^ #। अब ब ल रह ह #f (x, y) = x ^ x-y ^ {y / (y + 1)} = u (x) + v (y) = 0 # हम र प स ह

#df = f_x dx + f_y dy = (आ श क u) / (आ श क x) dx + (आ श क v) / (आ श क y) ड ई = 0 # फ र

# ड ई / dx = - ((आ श क u) / (आ श क x)) / ((आ श क v) / (आ श क y)) = (x ^ x (1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (y ^ (y / (1 + y)) (1 + y + Log_e (y))) = ((1 + Log_e (x)) (1 + y) ^ 2) / (1 + y + Log_e () व ई)) #

हम द खत ह क # ड ई / / (dx) = 0 -> {y_0 = -1, x_0 = e ^ {- 1}} # ल क न उन म ल य क सत य प त करन च ह ए:

#f (x, y_0) = ० # तथ

#f (x_0, y) = 0 #

पहल म मल म, # y_0 = 1 # हम र प स ह

# x ^ x = -1 # ज व स तव क ड म न म प र प य नह ह ।

द सर म मल म, # x_0 = e ^ {- 1} # हम र प स ह

# y ^ {y / (y + 1)} = e ^ {- 1} # य

# y / (y + 1) log_e y = -1 #

पर त

# y / (y + 1) log_e y> -1 # त क ई व स तव क सम ध न भ नह ।

सम पन, इस तरह क एक स पर शर ख नह ह ।

उत तर:

Dr, Cawa K, x = 1 / e स उत तर सट क ह ।

स पष ट करण:

म न इस म ल य क ठ क स प र प त करन क ल ए इस प रश न क प रस त व द य थ । क श क र ह

ड, Cawas एक न र ण यक उत तर क ल ए ज रहस य द घ टन क म ज र द त ह

इस अ तर ल क आसप स डबल सट क y '0 रहत ह । y ह

x = 1 / e पर न र तर और भ न न। द न 17-sd डबल क र प म

सट क y और y '0 ह, इस अ तर ल म x = 1 / e क आसप स, यह a थ

अन म न ह क x- अक ष ग र फ क ब च म स पर श करत ह । और अब, यह ह

स ब त कर द य । म झ लगत ह क स पर श प रल क क ह । ।