आप ट र गर प रत स थ पन क उपय ग करक int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 क क स एक क त करत ह ?

उत तर:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

स पष ट करण:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #

उपय ग # एक स = तन (क) #

# Dx = स क ड ^ 2 (क) द #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / (1 + tan ^ 2a) ^ 2 #

पहच न क उपय ग कर # 1 + तन ^ 2 (ए) = स क ड ^ 2 (ए) #

# intdx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = int (sec ^ 2 (a) da) / sec ^ 4 (a) #

# = इ ट (द) / स क ड ^ 2 (ए) #

# = int cos ^ 2 (a) da #

# = int ((1 + cos (2a)) / 2) da #

# = (1/2) (int (da) + int cos (2a) da) #

# = (1/2) (अ + प प (2 ए) / 2) #

# = (1/2) (अ + (2sin (क) क य क (क)) / 2) #

# = (1/2) (a + sin (a).cos (a)) #

हम ज नत ह क # एक = तन ^ -1 (एक स) #

#sin (क) = एक स / (sqrt (1 + x ^ 2) #

#cos (क) = एक स / (sqrt (1 + x ^ 2 #

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (1/2) (tan ^ -1 (x) + sin (sin ^ -1 (x / (sq + 1 ^ 2))) cos / क य क ^ -1 (1 / (sqrt (1 + x ^ 2)))) #

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + (x / (sqrt (1 + x ^ 2)) 1 / sqrt (1 + x ^ 2)) #

# = (1/2) (tan ^ -1 (x) + x / (1 + x ^ 2)) #

उत तर:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #

स पष ट करण:

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # प रत स थ पन क प रदर शन

#x = ट न (y) # और इसक पर ण मस वर प

#dx = ड ई / (cos (y) ^ 2) #

हम र प स ह

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 सम न इ ट ड ई / (cos (y) ^ 2 (1 / cos (y) ^ 4)) = int cos (y) ^ 2dy #

पर त

# d / (ड ई) (sin (y) cos (y)) = cos (y) ^ 2-sin (y) ^ 2 = 2 cos (y) ^ 2-1 #

फ र

#int cos (y) ^ 2 ड ई = 1/2 (y + sin (y) cos (y)) #

अ त म, य द करत ह ए # आपक = आर कट क (x) # हम र प स ह

#int dx / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1/2 (arctan (x) + x / (x ^ 2 + 1)) #