क पय , क स न समस य क हल करन म मदद क ?

उत तर:

बदल व क प रय स कर # एक स = ट न य #

न च द ख

स पष ट करण:

हम ज नत ह क # 1 + तन ^ 2 य = स क ड ^ 2u #

हम र द व र प रस त व त पर वर तन स

# dx = sec ^ 2u du #। अभ न न म स थ न पन न

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = intsec ^ 2u / (1 + tan ^ 2u) ^ (3/2) du = intsec ^ 2u / sec ^ 3udu = int1 / secudu = intcosudu = sinu + स #

इस प रक र, पर वर तन क प र ववत कर:

# य = arctanx # और अ त म हम र प स ह

#sin u + C = sin (arctanx) + C #

उत तर:

#color (न ल) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = एक स / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #

स पष ट करण:

आइए इस अभ न न क हल करन क ल ए त र क णम त य प रत स थ पन क उपय ग करन क प रय स कर । ऐस करन क ल ए, हम एक समक ण त र भ ज क न र म ण कर ग # ड ल ट एब स # और पक ष क इस तरह स ल बल कर क प इथ ग रस क स त र क उपय ग करक हम उन अभ व यक त य क प र प त कर सकत ह ज न ह हम वर तम न म अभ न न क तर क म द ख रह ह:

क ण # / _ ब = थ ट # व पर त पक ष ह #एक स# और बगल क तरफ #1#। प इथ ग रस क स त र क उपय ग करन:

# (BC) ^ 2 = (एब) ^ 2 + (एस) ^ 2 # क पर ण म:

# (BC) ^ 2 = 1 ^ 2 + x ^ 2 = 1 + x ^ 2 #

# ब स = sqrt (1 + x ^ 2 # क र प म द ख य ।

अब, क ल ए त न सबस ब न य द त र क णम त य फ क शन ल ख # थ ट #:

# Sintheta = एक स / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Costheta = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #

# Tantheta = एक स / 1 = एक स #

अब हम इन सम करण क उपय ग त र क णम त य शब द म अभ न न तर क क व भ न न ट कड क हल करन क ल ए करन ह । क उपय ग करत ह # Tantheta #:

# Tantheta = एक स #

चल द न पक ष क ड र व ट व ल त ह:

# स क ड ^ 2 थ ट ड थ ट = ड एक स #

वह स # Costheta # सम करण, हम हल कर सकत ह #sqrt (1 + x ^ 2) #:

#sqrt (1 + x ^ 2) = 1 / costheta = sectheta #

यद हम इस सम करण क द न पक ष क शक त क ओर बढ त ह #3# हम म ल:

# स क ड ^ 3theta = (sqrt (1 + x ^ 2)) ^ 3 = ((1 + x ^ 2) ^ (1/2)) ^ 3 = (1 + x ^ 2) ^ (3/2) #

अब, हम इस समस य क अभ न न र प स एक त र क णम त य अभ न न अ ग म बदलन क ल ए गणन कर सकत ह:

# intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = int (sec ^ 2thetad थ ट) / sec ^ 3theta = intsec ^ 2theta / (secthetasec ^ 2theta) dta = intcancelcolor (ल ल) (sec ^ 2theta) / (secthetacancelcolor (ल ल) (sec ^ 2theta) d dta = int1 / secthetad थ ट = int1 / (1 / costheta) d थ ट = intcosthetad थ ट / sintheta + C #

अब, हम व पस क ल ए स थ न पन न कर सकत ह # Sintheta # और हम र उत तर क एक ब ज य अभ व यक त म बदल द #एक स#:

#color (न ल) (intdx / (1 + x ^ 2) ^ (3/2) = एक स / sqrt (1 + x ^ 2) + C) #