इस र श क गणन क स कर ? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

उत तर:

न च द ख ।

स पष ट करण:

म नत ह ए # ट ब x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

पर त # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # तथ

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # फ र

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

उत तर:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # कब # | X | <1 #

स पष ट करण:

हम क छ ग णक क ल खकर श र करत ह:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

पहल च ज ज स हम द खन च हत ह वह ह ग ण क (क ड ग र #एक स# श र खल क ग ण और व भ ज त करक क फ आस न स सम य ज त क य ज सकत ह #एक स#, इसल ए व उतन महत वप र ण नह ह)। हम द खत ह क व सभ द क ग णक ह, इसल ए हम द क एक क रक न क ल सकत ह:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

इस क ष ठक क अ दर ग ण क क द व पद श र खल क शक त क स थ पहच न ज सकत ह # अल फ = -3 #:

# (1 + x) ^ अल फ = 1 + Alphax + (अल फ (अल फ -1)) / (2!) X ^ 2 + (अल फ (अल फ -1) (अल फ -2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

हम ध य न द त ह क हम ज स श र खल क प र प त करत ह, उसक त लन म क ष ठक म सभ शब द क प रत प दक द स बड ह त ह, इसल ए हम ग ण करन च ह ए # X ^ 2 # सह श र खल प न क ल ए:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

इसक अर थ ह क हम र श र खल (जब यह अभ सरण ह त ह) इसक बर बर ह त ह:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

बस यह सत य प त करन क ल ए क हमन क ई गलत नह क ह, हम जल द स ब य म यल स र ज क उपय ग करक श र खल क गणन कर सकत ह # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) एक स ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2 (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2 (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

हम इस प टर न क वर णन इस प रक र कर सकत ह:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (ए) n-1) x ^ n #

च क पहल क र यक ल बस ह #0#, हम ल ख सकत ह:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

हम र पर ण म क सत य प त करत ह ए हमन ज श र खल श र क ह ।

अब हम क वल अभ सरण अ तर ल क पत लग न क आवश यकत ह, यह द खन क ल ए क श र खल क व स तव म क य म ल य ह । हम द व पद श र खल क अभ सरण क स थ त य क द खकर ऐस कर सकत ह और प त ह क श र खल कब पर वर त त ह त ह # | X | <1 #