द स ख य ओ क चयन क स कर ज सक ल ए उनक वर गम ल क य ग न य नतम ह , यह ज नत ह ए क द स ख य ओ क ग णनफल a ह ?

उत तर:

# एक स = y = sqrt (क) #

स पष ट करण:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "न य नतम ह " #

# "हम लग र ग णक L क स थ क म कर सकत थ:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "व य त पन न प द व र:" #

{{df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

{{df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

{{df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(x क स थ ग ण करन क ब द! =" 0 "" # #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (ए) #

# => y = sqrt (ए) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "MINIMUM" #

# "अब हम अभ भ x = 0 क ज च करन ह ।"

# "यह x * y = 0 क र प म तब अस भव ह ।" #

# "त हम र प स अद व त य सम ध न ह " #

# एक स = y = sqrt (क) #

उत तर:

म आपक न च सम ध न व ध क म ध यम स ल न क क श श कर ग ।

स पष ट करण:

हम क य ख ज कर रह ह ?

द न बर। आइए उन ह न म द, #एक स# तथ # Y #.

सव ल फ र स ।

हम वर गम ल क य ग क न य नतम करन च हत ह ।

यह हम द ब त बत त ह

(1) द न स ख य ए ग र-नक र त मक ह (कल पन ओ स बचन क ल ए)

(2) हम क म ल य म र च रखत ह # Sqrtx + sqrty #

सव ल फ र स ।

हम यह भ बत य गय ह क उत प द #एक स# तथ # Y # ह #ए#.

क न च नत ह #ए#?

स म न य त र पर, अगर क ई व य य म क ब र म क छ कहत ह #ए# य # B # य #स #, हम क स और द व र द ए गए स थ र क क र प म ल त ह ।

त हम कह ज सकत ह "क उत प द #एक स# तथ # Y # ह #11#'

य "क उत प द #एक स# तथ # Y # ह #124#'.

हम कहकर एक ब र म इन सभ क हल करन क ल ए कर रह ह # Xy = एक # क छ न र तर क ल ए #ए#.

इसल ए, हम बन न च हत ह # Sqrtx + sqrty # ज तन स भव ह उतन छ ट रखन # Xy = एक # क छ न र तर क ल ए #ए#.

यह एक अन क लन समस य क तरह द खत ह और यह एक ह । इसल ए म कम स कम एक चर क एक फ क शन च हत ह ।

# Sqrtx + sqrty # इसक द चर ह, #एक स# तथ # Y #

# Xy = एक # इसक भ द चर ह, #एक स# तथ # Y # (य द ह #ए# एक स थ र ह)

इसल ए # आपक = a / x #

अब हम कम स कम करन च हत ह:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtxx #

व य त पन न ख ज, फ र महत वप र ण स ख य (एस) और महत वप र ण स ख य (न) क पर क षण कर । खत म ख ज रह ह # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

ग भ र # Sqrta #

#f '(x) <0 # क ल य #x <sqrta # तथ #f '(x)> 0 # क ल य #x> चक रवत #, इसल ए #F (sqrta) # एक न य नतम ह ।

#x = sqrta # तथ # आपक = a / x = sqrta #

उत तर:

# 2 र ट (4) (ए) #

स पष ट करण:

हम ज नत ह क क ल ए #x_i> 0 # हम र प स ह

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

फ र

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # फ र

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 र ट (4) (x_1x_2) #

पर त # x_1x_2 = एक # फ र

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ज ई 2 र ट (4) (ए) #